搜索
1FEADCB初二数学奥数1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，EF∥AB交BC于点F，EF＝EC，连结DF。(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形；(2)若AD＝1，BC＝3，DC＝2，试判断△DCF的形状；(3)在条件(2)下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由。22、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N.（1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN.①求证：△ABN≌△ADN；②若∠ABC=60°，AM=4，求点M到AD的距离；（2）如图25－2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形.33、对于点O、M，点M沿MO的方向运动到O左转弯继续运动到N，使OM＝ON，且OM⊥ON，这一过程称为M点关于O点完成一次“左转弯运动”．正方形ABCD和点P，P点关于A左转弯运动到P1，P1关于B左转弯运动到P2，P2关于C左转弯运动到P3，P3关于D左转弯运动到P4，P4关于A左转弯运动到P5，……．（1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P1的位置；（2）连接P1A、P1B，判断△ABP1与△ADP之间有怎样的关系？并说明理由。(3)以D为原点、直线AD为y轴建立直角坐标系，并且已知点B在第二象限，A、P两点的坐标为（0，4）、（1，1），请你推断：P4、P2009、P2010三点的坐标．PDCBAONM图1图244、如图1和2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，Rt△ABC停止移动.设运动时间为x秒，△QAC的面积为y.（1）如图1，当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置时，请你在网格中画出Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；（2）如图2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当x分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？（3）在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？55、如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．(1)图中有几个等腰三角形?猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．(2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们．在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由。66、已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为AC上一点，且∠BDC=124°，延长BA到点E，使AE=AD,BD的延长线交CE于点F，求∠E的度数。77、如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O，将一三角尺的直角顶点放在点O处，让其绕点O旋转，三角尺的直角边与正方形ABCD的两边交于点E和F。通过观察或测量OE,OF的长度，你发现了什么？试说明理由。81、解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；（2）△DCF是等腰直角三角形，证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=21CD，∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=21（BC-AD）=1，∵DC=2，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；（3）共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3-2，PB=3+22、证明：（1）①∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠1=∠2．又∵AN=AN，∴△ABN≌△ADN．②解：作MH⊥DA交DA的延长线于点H．由AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°．在Rt△AMH中，MH=AM•sin60°=4×sin60°=23．∴点M到AD的距离为23．∴AH=2．∴DH=6+2=8．（2）解：∵∠ABC=90°，∴菱形ABCD是正方形．∴∠CAD=45°．下面分三种情形：（Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°．此时，点M恰好与点B重合，得x=6；（Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°．此时，点M恰好与点C重合，得x=12；（Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2．∵AD∥BC，∴∠1=∠4，又∠2=∠3，∴∠3=∠4．∴CM=CN．∴AC=62．∴CM=CN=AC-AN=62-6．故x=12-CM=12-（62-6）=18-62．综上所述：当x=6或12或18-62时，△ADN是等腰三角形。3、解：（1）用直尺和圆规作图，作图痕迹清晰；（2）△ABP1≌△ADP，且△ABP1可看成是由△ADP绕点A顺时针旋转90°而得．理由如下：在△ABP1和△ADP中，由题意：AB=AD，AP=AP1，∠PAD=∠P1AB，∴△ABP1≌△ADP，又∵△ABP1和△ADP有公共顶点A，且∠PAP1=90°，9∴△ABP1可看成是由△ADP绕点A顺时针旋转90°而得；（3）点P（1，1）关于点A（0，4）左转弯运动到P1（-3，3），点P1（-3，3）关于点B（-4，4）左转弯运动到点P2（-5，3），点P2（-5，3）关于点C（-4，0）左转弯运动到点P3（-1，1），点P3（-1，1）关于点D（0，0）左转弯运动到点P4（1，1），点P4（1，1）关于点A（0，4）左转弯运动到点P5（-3，3），点P5与点P1重合，点P6与点P2重合，，点P2009的坐标为（-3，3）点P2010的坐标为（-5，3）．4、解：（1）如图1，△A2B2C2是△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；（2）当△ABC以每秒1个单位长的速度向下平移x秒时（如图2），则有：MA=x，MB=x+4，MQ=20，y=S梯形QMBC-S△AMQ-S△ABC=214+20）（x+4）-21×20x-21×4×4=2x+40（0≤x≤16）．由一次函数的性质可知：当x=0时，y取得最小值，且y最小=40，当x=16时，y取得最大值，且y最大=2×16+40=72；（3）解法一：当△ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时，此时16≤x≤32，PB=20-（x-16）=36-x，PC=PB-4=32-x，∴y=S梯形BAQP-S△CPQ-S△ABC=21（4+20）（36-x）-21×20×（32-x）-21×4×4=-2x+104（16≤x≤32）．由一次函数的性质可知：当x=32时，y取得最小值，且y最小=-2×32+104=40；10当x=16时，y取得最大值，且y最大=-2×16+104=72．解法二：在△ABC自左向右平移的过程中，△QAC在每一时刻的位置都对应着（2）中△QAC某一时刻的位置，使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称．因此，根据轴对称的性质，只需考查△ABC在自上至下平移过程中△QAC面积的变化情况，便可以知道△ABC在自左向右平移过程中△QAC面积的变化情况．当x=16时，y取得最大值，且y最大=72，当x=32时，y取得最小值，且y最小=40．5、解：（1）图中有5个等腰三角形，EF=BE+CF，∵△BEO≌△CFO，且这两个三角形均为等腰三角形，可得EF=EO+FO=BE+CF；（2）还有两个等腰三角形，为△BEO、△CFO，如下图所示：∵EF∥BC，∴∠2=∠3，又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴△BEO为等腰三角形，在△CFO中，同理可证．∴EF=BE+CF存在．（3）有等腰三角形：△BEO、△CFO，此时EF=BE-CF，∵如下图所示：OE∥BC，∴∠5=∠6，又∠4=∠5，∴∠4=∠6，∴，△BEO是等腰三角形，在△CFO中，同理可证△CFO是等腰三角形，此时EF=BE-CF，116、解：在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠DAB=∠CAE=90°AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠E=∠ADB．∵∠ADB=180°-∠BDC=180°-124°=56°，∴∠E=56°．7、解：OE=OF．证明：正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴OA=OB，∠OAB=∠OBE=45°，AC⊥BD．∵∠AOF+∠FOB=∠EOB+∠FOB=90°，∴∠AOF=∠EOB．在△AOF和△BOE中∠OAB=∠OBE，OA=OB，∠AOF=∠EOB，∴△AOF≌△BOE（ASA）．∴OE=OF．