直线与平面的位置关系知识点归纳

P·αLβDCBAα第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11平面含义：平面是无限延展的2平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。3三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为A∈LB∈L=LαA∈αB∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C三点不共线=有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。公理2作用：确定一个平面的依据。（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P∈α∩β=α∩β=L，且P∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线a∥bc∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4注意点：①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上；②两条异面直线所成的角θ∈(0，)；③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。已知两条异面直LA·αC·B·A·α共面直线=a∥c2线a，b，经过空间任一点O作直线'a∥a,'b∥b,我们把'a与'b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角。（注意：异面直线所成的角不大于90）。2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示aαa∩α=Aa∥α2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：aαbβ=a∥αa∥b2.2.2平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：aβbβa∩b=Pβ∥αa∥αb∥α2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a∥αaβa∥bα∩β=b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：α∥βα∩γ=aa∥bβ∩γ=b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。Lpα2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭lβBα2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。本章知识结构框图平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空间直线、平面的位置关系平面与平面的位置关系直线与平面的位置关系直线与直线的位置关系基础练习一选择题1.若直线a、b都和平面α平行,则直线a、b的位置关系是().A.相交B.平行C.异面D.以上三者都有可能【解析】可以画出直线a、b的三种位置关系的图形.【答案】D2.给出下列结论:①直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;②若直线a在平面α外,则a∥α;③若直线a∥b,b⊂α,则a∥α;④若直线a∥b,b⊂α,则直线a就平行于平面α内的无数条直线.其中结论正确的个数为().A.1B.2C.3D.4【解析】①直线l还可能在平面α内,所以①错误;②直线a还可能与平面α相交,所以②错误;③直线a还可能在平面α内,所以③错误;④平面α内,与直线b平行的直线都与直线a平行,所以④正确.【答案】A3.如图所示,在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中,异面直线共有().A.1对B.2对C.3对D.4对【解析】根据异面直线的定义可知共3对,分别为AP与BC,CP与AB,BP与AC.【答案】C4.过一点与已知直线垂直的直线有().A.一条B.两条C.无数条D.无法确定【解析】过一点与已知直线垂直的直线有无数条,包括相交垂直和异面垂直.【答案】C5.在两个平面内分别取一条直线,若这两条直线互相平行,则这两个平面的公共点个数().A.有限个B.无限个C.没有D.没有或无限个【解析】两平面相交或者平行,因此这两个平面没有公共点或有无限个公共点.【答案】D6.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面().A.平行B.相交C.平行或重合D.平行或相交【解析】若三点在平面的同侧,则两平面平行;若三点在平面的异侧,则两平面相交.【答案】D7.下列说法中,正确的个数是().①平行于同一平面的两条直线平行.②直线a平行于平面α内的一条直线b,那么直线a∥平面α.③若两平行直线中的一条与平面α相交,那么另一条也与平面α相交.④直线a与平面α内的无数条直线相交,那么直线a在平面α内.A.0B.1C.2D.3【解析】只有③正确.【答案】B8.a,b是两条直线,α是一个平面,给出下列三个命题:①如果a∥b,b⊂α,那么a∥α;②如果a∥α,b∥α,那么a∥b;③如果a∥b,a∥α,那么b∥α.其中真命题有().A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】①中,a有可能在平面α内,故①不正确;平行于同一个平面的两条直线不一定平行,故②不正确;③中,b有可能在平面α内,故③不正确.综上可知,选A.【答案】A9.平面α,β满足α∥β,直线a⊂α,下列四个命题中:①a与β内的所有直线平行;②a与β内的无数条直线平行;③a与β内的任何一条直线都不相交;④a与β无公共点.其中正确命题的个数是().A.1B.2C.3D.4【解析】因为α∥β,直线a⊂α,所以a与β内的直线平行或异面,由此可知①错,其他均正确.【答案】C10.已知A、B、C、D四点不共面,且AB∥平面α,CD∥平面α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=G,BC∩α=H,则四边形EFGH是().A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形【答案】A11.若平面α外的直线a与平面α所成的角为θ,则θ的取值范围是().A.(0,)B.[0,)C.(0,]D.[0,]【解析】当a∥α时,θ=0;当a⊥α时,θ=;a和α斜交时,θ的取值范围是(0,),综上,θ的取值范围是[0,].【答案】D12.P为△ABC所在平面外的一点,且PA、PB、PC两两垂直,则下列命题:①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC.其中正确的个数是().A.0B.1C.2D.3【解析】∵PA⊥PB,PA⊥PC,∴PA⊥平面PBC,∴PA⊥BC,即①正确,同理可证得②③正确.【答案】D13.室内有一根直尺,无论怎么样放置,在地面上总有这样的直线,它与直尺所在的直线().A.异面B.相交C.平行D.垂直【答案】D14.若平面α、β互相垂直,则().A.α中的任意一条直线都垂直于βB.α中有且只有一条直线垂直于βC.平行于α的直线垂直于βD.α内垂直于交线的直线必垂直于β【答案】D15.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离为().A.B.C.D.【解析】利用三棱锥A1-AB1D1的体积变换:=,则×2×4=×6×h,解得h=.【答案】C16.点P是等腰三角形ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,PA=8,在△ABC中,底边BC=6,AB=5,则P到BC的距离为().A.4B.5C.3D.2【解析】作AD⊥BC于D,连接PD,易证PD⊥BC,故PD的长即为P到BC的距离,易求得AD=4,PD=4.【答案】A17.已知m,n表示两条不同的直线,α,β,γ表示三个不同的平面,给出下列三个命题:(1)⇒m∥n;(2)⇒n∥α;(3)⇒m⊥n.其中推理正确的个数为().A.0B.1C.2D.3【解析】若则m∥n,即命题(1)正确;若则n∥α或n⊂α,即命题(2)不正确;若则m⊥n,即命题(3)正确.故选C.【答案】C18.如图,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是().A.直线ACB.直线ABC.直线CDD.直线BC【解析】∵D∈l,l⊄平面β,∴D∈平面β.∵D∈AB,AB⊄平面ABC,∴D∈平面ABC,∴D在平面ABC与平面β的交线上.∵C∈平面ABC,且C∈平面β,∴C在平面β与平面ABC的交线上,∴平面ABC∩平面β=CD.【答案】C二填空题1.在空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,且EF=5,又AD=6,BC=8,则AD与BC所成角的大小为.【解析】取AC中点G,连接EG,FG,在△EFG中,EG∥BC,EG=BC=4,FG∥AD,FG=AD=3,又知EF=5,∴∠EGF=90°,∴AD与BC所成角为90°.【答案】90°2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线.(1)∠DBC的两边与的两边分别对应平行且方向相同;(2)∠DBC的两边与的两边分别对应平行且方向相反.【解析】(1)B1D1∥BD,B1C1∥BC,并且方向相同,所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别对应平行且方向相同.(2)D1B1∥BD,D1A1∥BC,并且方向相反,所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别对应平行且方向相反.【答案】(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A13.若a⊂α,b⊂β,则a与b的位置关系是.【解析】可能异面,也可能存在平面γ,使a⊂γ,且b⊂γ,即a与b仍可以在同一平面内.【答案】平行、相交或异面4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是棱BC、C1D1的中点,则EF与平面BB1D1D的位置关系是.【解析】如图,取D1B1的中点O,连接OF,OB.∵OF�B1C1,BE�B1C1,∴OF�BE,∴四边形OFEB为平行四边形,∴EF∥BO.∵EF⊄平面BB1D1D,BO⊂平面BB1D1D,∴EF∥平面BB1D1D.【答案】平行5.平面α∥平面β,△ABC和△A