高一数学——恒成立问题

高一数学——恒成立问题编辑人：MR.XUE第1页共7页1函数0fx恒成立min0fx1.1二次函数（定义域无限制）的恒成立问题对于一元二次函数),0(0)(2Rxacbxaxxf有：（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf在0)(上恒成立00且a【例1】若不等式02)1()1(2xmxm的解集是R，求m的范围。【例2】若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围；【练习1】若函数在R上恒成立，求m的取值范围。2函数fxa恒成立，minfxa（分离参数法）2.1二次函数（限制定义域）的恒成立问题【练习1】当1,2x时，不等式240xmx恒成立，则m的取值范围是.【练习2】【2006江西】对于一切实数，不等式210xax恒成立，则实数a的取值范围是【练习3】若不等式22210xmxm对满足01x的所有实数x都成立，求m的取值范围。【练习4】已知函数2()10fxxax对于一切1(0,]2x成立，求a的取值范围。【练习5】已知函数]4,0(,4)(2xxxaxxf时0)(xf恒成立，求实数a的取值范围。解：将问题转化为xxxa24对]4,0(x恒成立。x02aaxx),(a268ymxmxm高一数学——恒成立问题编辑人：MR.XUE第2页共7页令xxxxg24)(，则min)(xga由144)(2xxxxxg可知)(xg在]4,0(上为减函数，故0)4()(mingxg∴0a即a的取值范围为)0,(。【练习6】已知函数lg2afxxx，若对任意2,x恒有0fx，试确定a的取值范围。【练习7】【2010天津理数】（16）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是.【答案】D【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立。当时函数取得最小值，所以，即，解得或【练习8】已知函数221gxaxaxb0,1ab在区间2,3上最大值是4，最小值是1.设函数gxfxx⑴求,ab的值和fx的解析式⑵若不等式220xxfk在1,1x时恒成立，求k的取值范围2()1fxx2,3x24()(1)4()xfmfxfxfmmm22222214(1)(1)14(1)xmxxmm3[,)2x22213241mmxx3[,)2x32x2321yxx53221543mm22(31)(43)0mm32m32m高一数学——恒成立问题编辑人：MR.XUE第3页共7页2.2已知单调性，求参数取值涉及的恒成立问题（涉及放缩技巧）【练习1】已知函数20,afxxxaRx在区间[2,)上是增函数，求a的取值范围答案：16a【练习2】【2011江西高考】已知函数2fxxxa，若fx在2,3上单调递减，求参数a的取值范围【练习3】已知函数12log8afxxx在1,上单调递减，求a的取值范围答案：19a【练习4】已知函数212fxaxx，(0,1]x⑴若函数fx在(0,1]x上是增函数，求a的取值范围⑵求fx在(0,1]x上的最大值答案：⑴1a⑵1a时max21fxa1a时，32max3fxa【练习5】【2007上海高考】已知函数（1）判断函数的奇偶性；（2）若在区间是增函数，求实数的取值范围。解：（1）当时，为偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数.（2）设，，由得，要使在区间是增函数只需，即恒成立，则。2(0,)afxxxaRxfxfx2,a0a2fxx0afx212xx22121212aafxfxxxxxaxxxxxxxx21212121212xx121216xxxx12120,0xxxxfx2,120fxfx12120xxxxa16a高一数学——恒成立问题编辑人：MR.XUE第4页共7页【练习6】如果函数2()(31)(01)xxfxaaaaa且在区间0，∞上是增函数，那么实数a的取值范围是（）A．203，B．313，C．13，D．32，∞3分类讨论法【练习1】已知函数，【1】在R上恒成立，求的取值范围。【2】若时，恒成立，求的取值范围。【3】若时，恒成立，求的取值范围。分析：yfx的函数图像都在x轴上方，即与x轴没有交点。【1】略解：【2】，令在上的最小值为。⑴当，即时，又不存在。⑵当，即时，又⑶当，即时，又总上所述，。【3】解法一：分析：题目中要证明在上恒成立，若把移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于0的问题。2()3fxxaxa()0fxa2,2x()0fxa2,2x()2fxa22434120aaaa62a22()324aafxxa()fx2,2()ga22a4a()(2)730gafa73a4aa222a44a2()()3024aagafa62a44a42a22a4a()(2)70gafa7a4a74a72aaxf)(2,2a2,2高一数学——恒成立问题编辑人：MR.XUE第5页共7页略解：，即在上成立。⑴⑵综上所述，。解法二：（利用根的分布情况知识）⑴当，即时，不存在。⑵当，即时，，⑶当，即时，，综上所述。此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，还有与其相反的，轴动区间定。【练习2】已知函数xaxxf2)(，()0aRa且（1）对于任意的实数21,xx，比较)]()([2121xfxf与)2(21xxf的大小；（2）若1,0x时，有1|)(|xf，求实数a的取值范围。【练习3】已知不等式0122axx对]2,1[x恒成立，其中0a．求实数a的取值范围．分析：思路1、通过化归最值，直接求函数12)(2axxxf的最小值解决，即0)(minxf思路2、通过分离变量，转化到)1(21212xxxxa解决，即min2)21(xxa【练习4】设22)(2mxxxf，当),1[x时，mxf)(恒成立，求实数m的取值2()320fxxaxa2()10fxxaxa2,22410aa222222a24(1)0(2)0(2)02222aaffaa或2225a2225a22a4a()(2)732gafa54,3aa222a44a2()()3224aagafa222222a－2224a22a4a()(2)72gafa5a54a2225a2—2高一数学——恒成立问题编辑人：MR.XUE第6页共7页范围。解：设mmxxxF22)(2，则当),1[x时，0)(xF恒成立当120)2)(1(4mmm即时，0)(xF显然成立；当0时，如图，0)(xF恒成立的充要条件为：1220)1(0mF解得23m。综上可得实数m的取值范围为)1,3[。4主参换位法【练习1】若不等式10ax对1,2x恒成立，求实数a的取值范围【练习2】若对于任意1a，不等式24420xaxa恒成立，求实数x的取值范围【练习3】（1）已知21fxxmx试求m的取值范围，使3fx对任意1,1x恒成立（3）已知21fxxmx试求x的取值范围，使3fx对任意1,1m恒成立【练习4】若不等式2211xmx对满足22m的所有m都成立，求x的取值范围。【练习5】设函数bxxaxh)(，对任意]2,21[a，都有10)(xh在]1,41[x恒成立，求实数b的取值范围．分析：方法1：化归最值，10)(10)(maxxhxh；方法2：变量分离，)(10xxab方法3：变更主元，0101)(bxaxa，]2,21[a【练习6】对任意的2,2a，函数2442fxxaxa的值总是正数，求x的取值范围高一数学——恒成立问题编辑人：MR.XUE第7页共7页【练习7】已知函数是定义在上的奇函数，且，若，，有，（1）证明在上的单调性；（2）若对所有恒成立，求的取值范围。答案：。5数形结合【练习1】【2007安徽】若对任意xR,不等式xax恒成立，则实数a的取值范围是________【练习2】不等式4axxx在0,3x内恒成立，求实数a的取值范围。【练习3】关于x不等式21xxb在1,0恒成立，则b的取值范围是：答案：1b【练习4】如果对任意实数x，不等式1xkx恒成立，则实数k的取值范围是答案：01k()fx1,1(1)1f,1,1ab0ab()()0fafbab()fx1,12()21fxmam1,1am1122a