数学建模入门课件

rxdtdx数学建模——现实生活中的数学主要内容：一、数学建模简介二、数学建模简单示例三、数学建模论文写作四、全国大学生数学建模竞赛简介五、数学建模的意义一、数学建模简介通常，1公斤面，1公斤馅，包100个汤圆（饺子）今天，1公斤面不变，馅比1公斤多了，问应多包几个（小一些），还是少包几个（大一些）？问题圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆,若分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为vV和nv哪个大?引子从包汤圆（饺子）说起Ssss…Vvvv(共n个)定性分析V比nv大多少?定量分析从包汤圆（饺子）说起假设1.皮的厚度一样2.汤圆(饺子)的形状一样模型应用若100个汤圆（饺子）包1公斤馅,则50个汤圆(饺子)可以包公斤馅R~大皮半径21RkS3221,rkvrksnvnvnV)()2(2/3kSV)3(2/3ksvvnV2/3V是nv是倍n1.432RkVr~小皮半径)1(nsS两个k1（和k2）一样(1),(2),(3)数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学建模建模步骤模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检验模型应用1）模型准备：了解问题的实际背景，明确建模目的，掌握对象的各种信息如统计数据等，弄清实际对象的特征。（有时需查资料或到有关单位了解情况）。建模步骤(具体解释)2）模型假设：根据实际对象的特征和建模目的，对问题进行必要地合理地简化。不同的假设会得到不同的模型。如果假设过于简单可能会导致模型的失败或部分失败，于是应该修改或补充假设，如“四足动物的体重问题”；如果假设过于详细，试图把复杂的实际现象的各个因素都考虑进去，可能会陷入困境，无法进行下一步工作。分清问题的主要方面和次要方面，抓主要因素，尽量将问题均匀化、线性化。3）模型建立：•分清变量类型，恰当使用数学工具；•抓住问题的本质，简化变量之间的关系；•要有严密的数学推理，模型本身要正确；•要有足够的精确度。4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方法，计算机技术（编程或软件包）。特别地近似计算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数近似、有效数字等）。6）模型检验：把模型分析的结果“翻译”回到实际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶段性和部分性符合好。7）模型应用：应用中可能发现新问题，需继续完善。5）模型分析：结果分析、数据分析。变量之间的依赖关系或稳定性态；数学预测；最优决策控制等。模型的分类1）按变量的性质分类：离散模型确定性模型线性模型单变量模型连续模型随机性模型非线性模型多变量模型2）按时间变化对模型的影响分类：静态模型参数定常模型动态模型参数时变模型3）按模型的应用领域（或所属学科）分类：人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、数量经济学模型、数学社会学模型等。4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分类：初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。5）按建模目的分类：描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。6）按对模型结构的了解程度分类：白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括力学、热学、电学等。灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题，包括生态、气象、经济、交通等。黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现象，如生命科学、社会科学等。基本方法•机理分析•测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律将研究对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型•二者结合机理分析建立模型结构,测试分析确定模型参数数学建模的基本方法问题：将四条腿一样长的正方形椅子放在不平的地面上，是否总能设法使它的四条腿同时着地，即放稳。1假设1）地面为光滑曲面；2）相对地面的弯曲程度而言，椅子的腿是足够长的；3）只要有一点着地就视为已经着地，即将与地面的接触视为几何上的点接触；4）椅子的中心不动。二、数学建模简单示例建模示例之一：椅子能放平稳吗2建模分析xyAABBCCDDO)(g表示A,C与地面距离之和)(f表示B,D与地面距离之和则由三点着地，有200)()(gf不失一般性，设初始时：0)0(,0)0(,0fg假设：是的连续函数，且对任意，求证：至少存在，使得3数学模型数学命题：.000)()(gf)2,0(0)(),(gf,)(00g0)()(gf,)(00f回忆:连续函数的介值定理()[,]()()0,(,),()0.xababab若在闭区间上连续，则在开区间内至少存在一点使oxyab4模型求解证明：将椅子转动，对角线互换，由2,0)0(,0)0(fg可得,0)2(,0)2(gf令,0)0()0()0(),()()(gfhgfh则,0)2()2()2(gfh而)2,0(由的连续性，根据介值定理，在中至少存在一点,使得,即)(h0)(0h0)()(00gf0)()(00gf又0)()(00gf所以结论：能放稳。思考题1：长方形的椅子会有同样的性质吗？建模示例之二：人力资源分配问题某个中型百货商场对售货人员（周工资200元）的需求经统计如下表为了保证销售人员充分休息，销售人员每周工作5天，休息2天。问应如何安排销售人员的工作时间，使得所配售货人员的总费用最小？星期一二三四五六七人数12151214161819模型假设每天工作8小时，不考虑夜班的情况；每个人的休息时间为连续的两天时间；每天安排的人员数不得低于需求量，但可以超过需求量问题分析：因素1、不可变因素：需求量、休息时间、单位费用；2、可变因素：安排的人数、总费用；方案：确定每天工作的人数，由于连续休息2天，当确定每个人开始休息的时间就等于知道工作的时间，因而确定每天开始休息的人数就知道每天开始工作的人数，从而求出每天工作的人数。变量：设每天开始休息的人数为：约束条件1.每人休息时间2天，自然满足。7,...,2,1,ixi2.每天工作人数不低于需求量，第i天工作的人数就是从第2i天往前数5天内开始休息的人数，所以有约束：1265432xxxxx1576543xxxxx1217654xxxxx1421765xxxxx1632176xxxxx1843217xxxxx1954321xxxxx3.变量非负约束：7,...,2,1,0ixi目标函数：总费用最小，总费用与使用的总人数成正比。由于每个人必然在且仅在某一天开始休息，所以总人数等于71iix模型7,...,2,1,019181614121512..200min5432174321763217652117654765436543271ixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsxiii2d墙室内T1室外T2dd墙l室内T1室外T2问题双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失假设热量传播只有传导，没有对流T1,T2不变，热传导过程处于稳态材料均匀，热传导系数为常数建模热传导定律dTkQQ1Q2Q~单位时间单位面积传导的热量T~温差,d~材料厚度,k~热传导系数建模示例之三：双层玻璃窗的功效dd墙l室内T1室外T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta~内层玻璃的外侧温度Tb~外层玻璃的内侧温度k1~玻璃的热传导系数k2~空气的热传导系数dTTklTTkdTTkQbbaa212111dlhkkhssdTTkQ,,)2(212111建模记单层玻璃窗传导的热量Q2dTTkQ221122d墙室内T1室外T2Q2双层与单层窗传导的热量之比dlhkkhssQQ,,22212121QQk1=410-3~810-3,k2=2.510-4,k1/k2=16~32对Q1比Q2的减少量作最保守的估计，取k1/k2=16dlhhQQ,181211211(2)TTQkds建模hQ1/Q24200.060.030.026模型应用取h=l/d=4,则Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少97%的热量损失。结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数k2,而这要求空气非常干燥、不流通。dlhhQQ,18121实际上双层窗的功效不会如此之大1、摘要（问题、模型、方法、结果）2、问题重述4、分析与建立模型5、模型求解6、模型检验7、模型推广8、参考文献9、附录3、模型假设三、数学建模论文写作摘要问题提出和假设的合理性模型的建立模型的计算与分析1、摘要①字数尽量控制在500字内②语言精简，用词准确③阐述细致具体的方法④列出主要结论⑤写出三至五个关键词•主要模型（名称）、方法和结果，解决了什么问题，有何特色等；2、问题提出和假设的合理性①简单地说明问题的情景，即要说清事情的来龙去脉。②列出必要数据，提出要解决的问题，并给出研究对象的关键信息的内容。③历届数学建模竞赛的试题可以看作是情景说明的范例。模型假设①论文中的假设要以严格、确切的数学语言表达。②所提出的假设为建立数学模型所必需的，而不是与建立模型无关。③假设应验证其合理性：合理性可以从分析问题过程中得出，例如从问题的性质出发作出合乎常识的假设；或者由观察所给数据的图象，得到变量的函数形式；也可以参考其他资料由类推得到，但要指出参考文献的相关内容。④主要假设以3~5条为宜。3、模型的建立论文中引进变量及其记号，通过一定的数学方法，建立方程式或归纳为其他形式的数学问题。注意事项：1.用分析和论证的方法，让读者了解得到模型的过程。2.上下文之间切忌逻辑推理过程中跃度过大，影响论文的说服力。3.需要推理和论证的地方，应该有推导的过程而且力求严谨。4.引用现成定理时，要先验证满足定理的条件。5.论文中用到的各种数学符号，须在第一次出现时加以说明。4、模型的计算与分析模型求解注意事项：1.在数值求解时应对计算方法有所说明，并给出所使用软件的名称或者给出计算程序（通常以附录形式给出）。2.可以用计算机软件绘制曲线和曲面示意图，来形象地表达数值计算结果。3.一些模型（例如非线性微分方程）需要作稳定性或其他定性分析，应指出所依据的数学理论，并在推理或计算的基础上得出明确的结论。4.在模型建立和分析的过程中，带有普遍意义的结论可以用清晰的定理或命题的形式陈述出来。定理和命题必须写清结论成立的条件。5、优缺点，改进方向等，附录（程序、更多的计算结果、复杂的推导、证明等）；参考论文（附）（ChinaUndergraduateMathematicalContestinModeling,缩写为CUMCM)四、全国大学生数学建模竞赛•1992年由中国工业与应用数学学会(CSIAM)组织第一次竞赛•1994年起由教育部高教司和CSIAM共同举办，每年一次(9月)•全国高校规模最大的课外科技活动数学建模竞赛(MathematicalContestinModeling)简介内容•赛题：工程技术、管理科学中经过简化的实际问题•答卷：一篇包含模型假设、建立、求解、计算方法设计和计算机实现、结果分析和检验、模型改进等方面的论文形式•3名大学生组队，在3天内完成的比赛•可使用任何“死”材料（图书、计