推导自然数立方和公式两种方法

第1页共2页推导213)1(21nnknk的两种方法通化市第一中学校刘天云邮编134001方法一：拆项累加相消求和已知：)12)(1(6112nnnknk而)]2)(1()1()3)(2)(1([41)2)(1(kkkkkkkkkkk则：nknnnnkkk1)3)(2)(1(41)]2)(1([所以：nknknknkkkkkkk11121323)]2)(1([)1(212)12)(1(613)3)(2)(1(41nnnnnnnnn2)1(21nn另外：nknnnnkkk1)3)(2)(1(41)]2)(1([还可以作如下证明：)2)(1(432321nnn)(6323433nCCC)3)(2)(1(41643nnnnCn方法二：构造群数列推导构造奇数列，并按第n群中含有个奇数的方式分群，即1/3，5/7，9，11/13，15，17，19/……我们用两种方法研究前n群的所有数的和.1、第n群最末一个数是数列的第)1(21nn项，而且该项为11)1(2122)1(21nnnnann第2页共2页那么，第n群最初一个数是数列的第1)1(21nn项，而且该项为111)1(21221)1(21nnnnann所以，第n群的n个数的和为：322)]1()1[(21nnnnnn.则前n群的所有数的和可记作nkk13.2、前n群所有数的和为该奇数列的前)1(21nn项的和，即2)1(21nn因此：213)1(21nnknk