2012年广州市普通高中毕业班二模数学试题(文科)及答案

市高三英语—1（共12页）2012年广州市普通高中毕业班二模数学试题(文科)及答案本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时l20分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县／区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题。每小题5分．满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A满足A{1，2}，则集合A的个数为A．4B．3C．2D．12．已知为虚数单位，复数，，且，则实数的值为A．2B．-2C．2或-2D．±2或03．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数的值是A．4B．C．D．-44．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分l00分)的茎叶图如图l，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．则的值为A．7B．8C．9D．105．已知向量=(3，-4)，=(6，-3)，=(m，m+1)，若∥，则实数m的值为A．B．C．D．6已知函数(e是自然对数的底数)，若，则的值为A．3B．2C．1D．07．已知两条不同直线、，两个不同平面、，在下列条件中，可得出的是市高三英语—2（共12页）A．，∥，∥B．，=l，C．∥，，D．∥，，8．下列说法正确的是A．函数在其定义域上是减函数B．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C．命题“”的否定是“”D．给定命题p、q，若pq是真命题，则P是假命题9．阅读图2的程序框图，该程序运行后输出的k的值为A．9B．10C．11D．1210．已知实数，满足，函数的最大值记为，则的最小值为A．1B．2C．D．3二、填空题：本大题共5小题。考生作答4小题．每小题5分，满分20分。(一)必做题(11～l3题)11．不等式的解集是。12．如图3，A，B两点之间有4条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为1，2，3，4．从中任取两条网线，则这两条网线通过的最大信息量之和为5的概率是．13．已知点P是直角坐标平面xOy上的一个动点，|OP|=(点O为坐标原点)，点M(-1，0)，则cosOPM的取值范围是．(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，若等边三角形ABC(顶点A，B，C按顺时针方向排列)的顶点A,B的极坐标分别为(2，)，(2，)，则顶点C的极坐标为．15．(几何证明选讲选做题)如图4，AB是圆O的直径，延长AB至C，使BC=2OB，CD是圆O的切线，切点为D，连接AD，BD，则的值为．三、解答题：本大题共6小题。满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16．(本小题满分12分)已知函数．(1)求函数的最小正周期；(2)若，，且，，求的值．17．(本小题满分l2分)甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表所示食物类型甲乙丙维生素C(单位／kg)300500300维生素D(单位／kg)700100300成本(元／kg)543某工厂欲将这三种食物混合成100kg的混合食物，设所用食物甲、乙、丙的重量分别为xkg、市高三英语—3（共12页）ykg、zkg．(1)试以x、y表示混合食物的成本P；(2)若混合食物至少需含35000单位维生素C及40000单位维生素D，问x、y、z取什么值时，混合食物的成本最少?18．(本小题满分14分)某建筑物的上半部分是多面体MN-ABCD，下半部分是长方体ABCD-A1B1C1D1(如图5)．该建筑物的正(主)视图和侧(左)视图如图6，其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成．(1)求线段AM的长；(2)证明：平面ABNM平面CDMN；(3)求该建筑物的体积．19．(本小题满分14分)已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2：有一个相同的焦点F1，直线：与抛物线C2只有一个公共点．(1)求直线的方程；(2)若椭圆C1经过直线上的点P，当椭圆C1的长轴长取得最小值时，求椭圆C1的方程及点P的坐标．20．(本小题满分14分)已知数列{}的前n项和为，对任意，都有且,令。(1)求数列{}的通项公式；(2)使乘积为整数的叫“龙数”，求区间[1，2012]内的所有“龙数”之和；(3)判断与的大小关系，并说明理由．21．(本小题满分l4分)已知函数(1)求函数的单调区间；(2)是否存在实数a，使得函数的极值大于0?若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．市高三英语—4（共12页）3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分.题号12345678910答案ACABADCDCB二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11.(-3,1)12.13.14.15.说明：第14题答案可以是三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、二倍角的余弦、同角三角函数关系、两角差的正弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力）(1)解：……………2分.……4分∴函数f(x)的最小正周期为.……………6分(2)解：由(1)得..………8分。，.……………10分…………11分……………12分17.（本小题满分12分）（本小题主要考查线性规划等知识，考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识）(1)解：依题意得……………2分由，得，代入，得.……3分(1)解：依题意知x、y、z要满足的条件为………6分把代入方程组得……9分如图可行域（阴影部分）的一个顶点为A(37.5，25)．…10分让目标函数在可行域上移动，由此可知在A(37.5，25)处取得最小值．市高三英语—5（共12页）………11分∴当时，混合食物的成本最少.………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）(1)解：作平面ABCD，垂足为O，连接AO，由于平面ABCD，故.作，垂足为P，连接PO，又，且平面MPO，平面MPO，平面MPO.……1分由题意知MO=PO=AP=1，，AD=2,…………2分在Rt△POM中，，………3分在Rt△APM中，，………4分∴线段AM的长为.……5分(2)解：延长PO交CD于点Q，连接MQ，由(1)知AB⊥平面MPO.平面MPO，.，.……6分在△PMQ中，，PQ=2，，.……………7分，平面ABNM，平面ABNM，平面ABNM．……………8分平面CDMN，∴平面ABNM⊥平面CDMN.……………9分(3)解法1：作交AB于点P1，作交CD于点Q1，由题意知多面体MN-ABCD可分割为两个等体积的四棱锥M-APQD和N-P1BCQ1和一个直三棱柱MPQ-NP1Q1．四棱锥M-APQD的体积为，…………10分直三棱柱MPQ-NP1Q1的体积为，…11分∴多面体MN-ABCD的体积为.……………12分长方体的体积为.………13分市高三英语—6（共12页）∴建筑物的体积为.………14分解法2：如图将多面体MN-ABCD补成一个直三棱柱ADQ-BCQ1，依题意知，，AD=2．多面体MN-ABCD的体积等于直三棱柱ADQ-BCQ1的体积减去两个等体积的三棱锥M-ADQ和N-BCQ1的体积．，.直三棱柱ADQ-BCQ1的体积为，…10分三棱锥M-ADQ的体积为．…11分∴多面体MN-ABCD的体积为.……12分长方体的体积为.………13分∴建筑物的体积为.………………14分19.（本小题满分14分）（本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）(1)解法1：由消去y，得.……1分∵直线l与抛物线C2只有一个公共点，，解得m=-4．……3分∴直线l的方程为y=2x-4．……4分解法2：设直线l与抛物线C2的公共点坐标为.由，得，∴直线l的斜率.……1分依题意得，解得.……2分把代入抛物线C2的方程，得.∵点在直线l上，，解得m=-4.……3分∴直线l的方程为y=2x-4．…………4分(2)解法1：∵抛物线C2的焦点为，依题意知椭圆C1的两个焦点的坐标为.……5分设点关于直线l的对称点为，则……7分解得∴点.……8分∴直线l与直线的交点为.……9分由椭圆的定义及平面几何知识得：市高三英语—7（共12页）椭圆C1的长轴长，……11分其中当点P与点P0重合时，上面不等式取等号．∴当a=2时，椭圆C1的长轴长取得最小值，其值为4.………12分此时椭圆C1的方程为，点P的坐标为.…14分解法2：∵抛物线C2的焦点为，依题意知椭圆C1的两个焦点的坐标为.……5分设椭圆C1的方程为，……………6分由消去y，得……7分由，……………8分得.……9分解得..……………11分∴当a=2时，椭圆C1的长轴长取得最小值，其值为4.………12分此时椭圆C1的方程为.……………13分把a=2代入（*）方程，得，∴点P的坐标为.…14分20.（本小题满分14分）（本小题主要考查数列、不等式等知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识）(1)解：由于，当n=1时,.……………1分整理得，解得a1=2或a1=-1．，.……………2分当n≥2时，，……3分化简得，.，.……4分∴数列是首项为2，公差为1的等差数列．市高三英语—8（共12页）.……………5分(2)解：，.……6分令，则（m为整数），……………7分由，得，.∴在区间[1，2012]内的k值为，……8分其和为………9分=2026………10分(3)解法1：，……………11分……………12分……………13分=1．.……………14分解法2：，=……………11分…………12分…………13分=0．.…………14分解法3：设，则.…………11分，..…………12分市高三英语—9（共12页）∴函数f(x)在上单调递减．，...………13分.………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力）(1)解：函数f(x)的定义域为.……1分.……2分①当a=0时，，∴函数f(x)单调递增区间为.……3分②当时，令f