2012年数学一轮复习精品试题第30讲数列求和

第三十讲数列求和第1页共5页第三十讲数列求和班级________姓名________考号________日期________得分________一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于()A．200B．－200C．400D．－400解析：S100＝1－5＋9－13＋…＋(4×99－3)－(4×100－3)＝50×(－4)＝－200.答案：B2．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋…＋n的前n项和为()A.2n2n＋1B.2nn＋1C.n＋2n＋1D.n2n＋1解析：该数列的通项为an＝2n(n＋1)，分裂为两项差的形式为an＝21n－1n＋1，令n＝1,2,3，…，则Sn＝21－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1.∴Sn＝21－1n＋1＝2nn＋1.答案：B3．设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10(n∈N)，则f(n)等于()A.27(8n－1)B.27(8n＋1－1)C.27(8n＋3－1)D.27(8n＋4－1)解析：f(n)为等比数列{23n－2}的前n＋4项的和，首项为2，公比为8，故f(n)＝2(1－8n＋4)1－8＝27(8n＋4－1)．答案：D4．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝32an－3，则数列{an}的前n项和Sn等于()A．3n＋1－3B．3n－3C．3n＋1＋3D．3n＋3解析：∵Sn＝32an－3，∴Sn＋1＝32an＋1－3，两式相减得：Sn＋1－Sn＝32(an＋1－an)．即an＋1＝32(an＋1－an)，∴an＋1an＝3.第三十讲数列求和第2页共5页又∵S1＝32a1－3，即a1＝32a1－3，∴a1＝6.∴an＝a1·qn－1＝6×3n－1＝2×3n.∴Sn＝32an－3＝32×2×3n－3＝3n＋1－3，故应选A.答案：A5．数列112，314，518，7116，…，(2n－1)＋12n，…的前n项和Sn的值等于()A．n2＋1－12nB．2n2－n＋1－12nC．n2＋1－12n－1D．n2－n＋1－12n解析：该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋12n，则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋12＋122＋…＋12n＝n2＋1－12n.故选A.答案：A6．数列an＝1n(n＋1)，其前n项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为()A．－10B．－9C．10D．9解析：设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝a1＋a2＋…＋an，又∵an＝1n－1n＋1，∴Sn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝nn＋1，又∵nn＋1＝910，∴n＝9，∴原题变为求10x＋y＋9＝0在y轴上的截距，令x＝0，得y＝－9，∴直线在y轴上的截距为－9.故选B.答案：B二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x)＝1－f(1－x)，则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝________.解析：由条件可知：f(x)＋f(1－x)＝1.而x＋(1－x)＝1，∴f(－2)＋f(3)＝1，f(－1)＋f(2)＝1，第三十讲数列求和第3页共5页f(0)＋f(1)＝1，∴f(－2)＋f(－1)＋…＋f(2)＋f(3)＝3.答案：38.12＋222＋323＋424＋…＋n2n－2等于________．解析：设S＝12＋222＋323＋…＋n2n，则12S＝122＋223＋…＋n－12n＋n2n＋1.相减，得12S＝12＋122＋…＋12n－n2n＋1＝121－12n1－12－n2n＋1.∴S＝2－12n－1－n2n.∴原式＝－12n－1－n2n.答案：－12n－1－n2n9．数列112＋2，122＋4，132＋6，142＋8…的前n项和等于________．解析：an＝1n2＋2n＝121n－1n＋2，∴Sn＝121－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1n＋2＝121＋12－1n＋1－1n＋2＝34－2n＋32(n＋1)(n＋2).答案：34－2n＋32(n＋1)(n＋2)10．函数f(n)＝n2(n为奇数)－n2(n为偶数)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋…＋a1000＝__________.解析：a2n＝f(2n)＋f(2n＋1)＝－4n2＋(2n＋1)2＝4n＋1，a2n－1＝f(2n－1)＋f(2n)＝－(2n)2＋(2n－1)2＝－4n＋1第三十讲数列求和第4页共5页所以数列的前1000项和可分为两部分：(a1＋a3＋a5＋…＋a999)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a1000)＝1000.答案：1000三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S2n＝anSn－12.(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝Sn2n＋1，求{bn}的前n项和Tn.解：(1)∵S2n＝anSn－12，an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∴S2n＝(Sn－Sn－1)Sn－12，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn①由题意Sn－1·Sn≠0，故①式两边同除以Sn－1·Sn，得1Sn－1Sn－1＝2.∴数列{1Sn}是首项为1S1＝1a1＝1，公差为2的等差数列，∴1Sn＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝12n－1.(2)∵bn＝Sn2n＋1＝1(2n－1)(2n＋1)＝1212n－1－12n＋1，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝121－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝n2n＋1.12．等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，且a1，a3，a9成等比数列，S5＝a25.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝n2＋n＋1an·an＋1，求数列{bn}的前99项的和．解：(1)设数列{an}的公差为d(d0)，∵a1，a3，a9成等比数列，∴a23＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴d2＝a1d，第三十讲数列求和第5页共5页∵d0，∴a1＝d，①∵S5＝a25，∴5a1＋5×42·d＝(a1＋4d)2②由①②得a1＝35，d＝35，∴an＝35＋(n－1)×35＝35n(n∈N*)．(2)bn＝n2＋n＋135n·35(n＋1)＝259·n2＋n＋1n(n＋1)＝2591＋1n－1n＋1，∴b1＋b2＋b3＋…＋b99＝259×1＋1－12＋1＋12－13＋1＋13－14＋…＋1＋199－1100＝259×99＋1－1100＝275＋2.75＝277.75.13．(2011·沈阳市模拟)在数列{an}中，a1＝1，2an＋1＝1＋1n2·an(n∈N*)．(1)证明：数列{ann2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝an＋1－12an，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)证明：由条件得an＋1(n＋1)2＝12·ann2，又n＝1时，ann2＝1，故数列{ann2}构成首项为1，公比为12的等比数列．从而ann2＝12n－1，即an＝n22n－1.(2)由bn＝(n＋1)22n－n22n＝2n＋12n得Sn＝32＋522＋…＋2n＋12n⇒12Sn＝322＋523＋…＋2n－12n＋2n＋12n＋1，两式相减得12Sn＝32＋2122＋123＋…＋12n－2n＋12n＋1，所以Sn＝5－2n＋52n.