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12012年数学一轮复习精品试题第四十七讲直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.教室内任意放一支笔直的铅笔，则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线()A.平行B.相交C.异面D.垂直解析：这支铅笔与地面存在三种位置关系，若在地面内，则C排除；若与地面平行则B排除；若与地面相交，则A排除，选D.答案：D2.若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是()A.若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC.若m⊥β，m∥α，则α⊥βD.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ解析：两平面垂直并不能得到一个平面内的任一直线都与另一平面垂直，故A为假命题；以三棱柱的侧面和侧棱为例知B为假命题；若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ或β∥γ，故D为假命题；若m∥α，则α中必存在直线l与m平行，又m⊥β，∴l⊥β，故α⊥β，故选C.答案：C3.(改编题)设P是△ABC所在平面外一点，P到△ABC各顶点的距离相等，而且P到△ABC各边的距离也相等，那么△ABC()A.是非等腰的直角三角形B.是等腰直角三角形C.是等边三角形D.不是A、B、C所述的三角形解析：设O是点P在平面ABC内的射影，因为P到△ABC各顶点的距离相等，所以O是三角形的外心，又P到△ABC各边的距离也相等，所以O是三角形的内心，故△ABC是等边三角形，选C.答案：C4.把等腰直角△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B—AD—C，则BD与平面ABC所成角的正切值为()A.2B.22C.1D.33解析：如图，在面ADC中，过D作DE⊥AC，交AC于点E.连接BE，因为二面角B—AD—C为直二面角，所以BD⊥平面ADC，故BD⊥AC.由以上可知，AC⊥平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC，故∠DBE就是BD与平面ABC所成角，在Rt△DBE中，易求tan∠DBE＝22，故选B.答案：B5.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ACB所在平面，那么()A.PA＝PBPCB.PA＝PBPCC.PA＝PB＝PCD.PA≠PB≠PC解析：∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA＝PB＝PC.选C.答案：C6.(2010·郑州质检)在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝1，则二面角B－AC－D的余弦值为()2A.13B.12C.223D.32解析：在原图中连接AC与BD交于O点，则AC⊥BD，在折起后的图中，由四边形ABCD为菱形且边长为1，则DO＝OB＝32，由于DO⊥AC，因此∠DOB就是二面角B－AC－D的平面角，由BD＝1得cos∠DOB＝OD2＋OB2－DB22OD·OB＝34＋34－12×32×32＝13，故选A.答案：A二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上.)7.正四棱锥S—ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为.解析：如图，取CD的中点F、SC的中点G，连接EF，EG，FG，EF交AC于点H，易知AC⊥EF，又GH∥SO，∴GH⊥平面ABCD，∴AC⊥GH，∴AC⊥平面EFG，故点P的轨迹是△EFG，其周长为2＋6.答案：2＋68.如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝时，CF⊥平面B1DF.解析：由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可.令CF⊥DF，设AF＝x，则A1F＝3a－x.由Rt△CAF∽Rt△FA1D，得ACA1F＝AFA1D，即2a3a－x＝xa，整理得x2－3ax＋2a2＝0，解得x＝a或x＝2a.答案：a或2a9.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：.解析：由题意构作四个命题：(1)①②③⇒④；(2)①②④⇒③；(3)①③④⇒②；(4)②③④⇒①.易判断(3)、(4)为真，应填m⊥α，n⊥β，α⊥β⇒m⊥n(或m⊥n，m⊥α，n⊥β⇒α⊥β).答案：①③④⇒②；②③④⇒①评析：本题为条件和结论同时开放的新颖试题.10.(2010·东城目标检测)过正三棱锥的侧棱与底面中心作截面，已知截面是等腰三角形，若侧面与底面所成的角为θ，则cosθ的值是.解析：本题考查二面角的求法.设侧面与底面所成的角为θ，如图，O为中心，∴θ＝∠SPB，又△SPB为等腰三角形，有两种情况：(1)SP＝PB，∴OP＝13SP⇒cosθ＝OPSP＝13；(2)SB＝PB，则SP＝SC2－PC2＝SB2－PC2＝PB2－PC2＝(32AC)2－(12AC)2＝22AC，3又BP＝32AC，OP＝13BP，∴cosθ＝OPSP＝66，综上可得：cosθ的值是13或66.答案：13或66三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤.)11.如图(1)，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，如图(2)，将△ABE沿AE折起，使二面角B—AE—C成直二面角，连接BC，BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点.(1)求证：AE⊥BD；(2)求证：平面PEF⊥平面AECD；(3)判断DE能否垂直于平面ABC？并说明理由.分析：由条件可知△ABE为正三角形，要证AE⊥BD，可证明AE垂直于BD所在的平面BDM，即证AE⊥平面BDM；可用判定定理证明平面PEF⊥平面AECD；对于第(3)问可采用反证法证明.解：(1)证明：取AE中点M，连接BM，DM.∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，△ABE与△ADE都是等边三角形.∴BM⊥AE，DM⊥AE.∵BM∩DM＝M，BM，DM⊂平面BDM.∴AE⊥平面BDM.∵BD⊂平面BDM，∴AE⊥BD.(2)证明：连接CM，EF交于点N，连接PN，如图.∵ME∥FC，且ME＝FC，∴四边形MECF是平行四边形.∴N是线段CM的中点.∵P是线段BC的中点，∴PN∥BM.∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD.又∵PN⊂平面PEF，∴平面PEF⊥平面AECD.(3)DE与平面ABC不垂直，证明：假设DE⊥平面ABC，则DE⊥AB，∵BM⊥平面AECD.∴BM⊥DE.∵AB∩BM＝B，AB，BM⊂平面ABE，∴DE⊥平面ABE.∴DE⊥AE，这与∠AED＝60°矛盾.∴DE与平面ABC不垂直.评析：翻折与展开是一个问题的两个方面，不论是翻折还是展开，均要注意平面图形与立体图形中各个对应元素的相对变化，元素间大小与位置关系，哪些不变，哪些变化，这是至关重要的.12.如图所示，已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ(0λ1).(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？解：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BC且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又AEAC＝AFAD＝λ(0λ1)，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，4∴EF⊥平面ABC，又∵EF⊂平面BEF，∴不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC.(2)由(1)知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC，∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝2，AB＝2tan60°＝6，∴AC＝AB2＋BC2＝7，由AB2＝AE·AC得AE＝67，∴λ＝AEAC＝67，故当λ＝67时，平面BEF⊥平面ACD.13.如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP⊥平面ABCD.(1)求证：DP⊥平面EPC；(2)问在EP上是否存在点F使平面AFD⊥平面BFC？若存在，求出FPAP的值.解：(1)证明：∵EP⊥平面ABCD，∴EP⊥DP，又ABCD为矩形，AB＝2BC，P、Q为AB、CD中点，∴PQ⊥DC且PQ＝12DC，∴DP⊥PC，∵EP∩PC＝P，∴DP⊥平面EPC.(2)如图，假设存在F使平面AFD⊥平面BFC，∵AD∥BC，AD⊄平面BFC，BC⊂平面BFC，∴AD∥平面BFC，∴AD平行于平面AFD与平面BFC的交线l.∵EP⊥平面ABCD，∴EP⊥AD，而AD⊥AB，AB∩EP＝P，∴AD⊥平面EAB，∴l⊥平面FAB，∴∠AFB为平面AFD与平面BFC所成二面角的平面角，∵P是AB的中点，且FP⊥AB，∴当∠AFB＝90°时，FP＝AP，∴当FP＝AP，即FPAP＝1时，平面AFD⊥平面BFC.