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-1-温馨提示：此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。考点32数学归纳法1.（2012·天津高考理科·Ｔ18）已知{na}是等差数列，其前n项和为nS，{nb}是等比数列,且1a=1=2b，44+=27ab，44=10Sb-.(Ⅰ)求数列{na}与{nb}的通项公式；(Ⅱ)记1121=+++nnnnTabababa1bn，*()nN，证明*()nN.【解题指南】（1）分别求出公差和公比即可得通项公式；（2）错位相减法求出nT的关系式，进而证明或用数学归纳法证明之.【解析】(Ⅰ)设等差数列{}na的公差为d,等比数列{b}n的公比为q,由311444==2=2+3d,2,86ababqSd==+，得，由条件得方程组(Ⅱ)（方法一）由(Ⅰ)得23121222...2,(1)nnnnnTaaaa--=++++（1），由（2）-（1），得232-231)3232...322nnnTn（而-210122(31)10212nnnabn=102610nn，故*12210,,nnnTabnN.（方法二：数学归纳法）-2-（1）当n=1时，11112+12=16Tab+=，11210=16ab-+，故等式成立.（2）假设当n=k时等式成立，即12210,kkkTab+=-+则当n=k+1时有：=+111121(...)kkkkabqababab-++++=+11kkabqT+=+11(-2+10-12)kkkabqab+=+11+1+12-4(-310-24kkkabab+）+11+1+12-4(-310-24kkkabab+）=+1+1-2+10-12kkab，即+11112210kkkTab+++=-+，因此n=k+1时等式也成立.由（1）和（2），可知对任意nnnnN,T+12=-2a+10b成立.2.（2012·湖北高考理科·Ｔ22）（I）已知函数f（x）=rx-xr+（1-r）（x0），其中r为有理数，且0r1.求f（x）的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则12bb12aa≤a1b1+a2b2；（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.注：当α为正有理数时，有求导公式(xα）＇=αxα-1.【解题指南】本题考查导数在解函数中的应用,本题(I)问中直接求导,求零点讨论单调性求解;(II)要构造函数，利用函数的单调性证明;(III)利用数学归纳法结合放缩法证明.【解析】(I)f＇(x)=r-rxr-1=r(1-xr-1),令f＇(x)=0,解得x=1.当0x1时,f＇(x)0,所以f(x)在(0,1)内是减函数;当x1时,f＇(x)0,所以f(x)在(1,+∞)内是增函数.故函数f(x)在x=1处取得最小值f(1)=0.(II)由(I)知,当x∈(0,+∞)时,有f(x)≥f(1)=0,即xr≤rx+(1-r).①-3-若a1,a2中至少有一个为0,则12bb12aa错误!未找到引用源。≤a1b1+a2b2成立;若a1,a2均不为0,又b1+b2=1,可得b2=1-b1,于是在①中令x=12a a错误!未找到引用源。,r=b1,可得(错误!未找到引用源。≤b1·错误!未找到引用源。+(1-b1),即错误!未找到引用源。≤a1b1+a2(1-b1),亦即12bb12aa错误!未找到引用源。≤a1b1+a2b2.综上,对a1≥0,a2≥0,b1,b2为正有理数且b1+b2=1,总有12bb12aa错误!未找到引用源。≤a1b1+a2b2.②(III)(II)中命题的推广形式为:设a1,a2,…,an为非负实数,b1,b2,…,bn为正有理数.若b1+b2+…+bn=1,则12bb12aa错误!未找到引用源。…nbn a错误!未找到引用源。≤a1b1+a2b2+…+anbn.③用数学归纳法证明如下:(1)当n=1时,b1=1,有a1≤a1,③成立.(2)假设当n=k时,③成立,即若a1,a2,…,ak为非负实数,b1,b2,…,bk为正有理数,且b1+b2+…+bk=1,则错误!未找到引用源。…错误!未找到引用源。≤a1b1+a2b2+…+akbk.当n=k+1时,已知a1,a2,…,ak,ak+1为非负实数,b1,b2,…,bk,bk+1为正有理数,且b1+b2+…+bk+bk+1=1,此时0bk+11,即1-bk+10,-4-+ak·从而又因(1-bk+1)+bk+1=1,由②得·(1-bk+1)+ak+1bk+1,从而12bb12aa错误!未找到引用源。…kk+1bbkk+1aa错误!未找到引用源。≤a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1.故当n=k+1时,③成立,由(1)(2)可知,对一切正整数n,所推广的命题成立.关闭Word文档返回原板块。