多元函数微分学练习题及解答

1高等数学（B）—多元函数微分学复习题1、二元函数,zfxy在点000,Pxy处的两个偏导数存在是,zfxy在点000,Pxy处连续的______条件（填：充分、必要、充要或无关）[解]：无关条件，2、如果函数,zfxy的两个混合偏导数22,zzxyyx在区域D内，则这两个混合偏导数相等[解]：连续。3、设,32,fxyxy则1,,____________ffxy[解]：1,,312,3232643ffxyfxyxyxy。4、函数221)ln(yxyxz的定义域是____________[解]：22220,1,且010xyxyxyxyxy。5、求22yxz的极值____________[解]：由曲面图形知：此曲面为顶点在原点，开口向上的圆锥，故其在0,0取得极小值(0,0)0f。6、函数),(yxfz在点（00,yx）处可导（偏导数存在）是函数在该点全微分的存在的______条件（填：充分、必要、充要或无关）[解]：必要条件。7、,0,01limsinxyxyxy[解]：因为,0,0lim0xyxy，1sin1xy，由无穷小性质：无穷小乘以有界函数仍为无穷小，故有,0,01limsin0xyxyxy。28、,0,0coslim1xxyeyxy[解]：函数cos1xeyzxy在0,0点连续，故0,0,0coscos0lim11100xxyeyexy。教材63P页习题9-1第6大题求极限。9、讨论函数2222220,00xyxyxyfxyxy在0,0处连续性、可导性与可微性？[解]：1）当点,Pxy沿直线ykx趋于点0,0O时，有222222,0,,0,0lim,limlim1xyykxxyykxxxykxkfxyxykxkx随k值的不同而改变，所以由极限定义知,0lim,xyfxy不存在，从而函数,fxy在0,0处不连续；2）由连续与全微分关系知：函数在该点全微分不存在；3）220000,00,000,0limlim0xxxxfxfxfxx220000,00,000,0limlim0yyyyfyfyfyy故函数在该点偏导数存在。10、设4sinxzeyx，求dz[解]：43cos,4xxzzeyxeyxyzzdzdxdyxy43cos4xxeyxdxeydy。11、设sinzxxy，求222222,,,,,zzzzzzxyxyxyyx[解]：1）sincoszxyxxyx；32）22coscossin2cossinzxyxyxxyxyxxyx；3）2cossinzxyxxyxy；4）coszxxyy；5）22sinzxxyy；6）2cossinzxyxxyyx。12、设,0zxxuyy求du。[解]：1121,,lnzzzuxuxxuxxzzxyyyyyzyyuuududxdydzxyz112lnzzzxzxxzxxdxdydzyyyyyy。13、设2,sin,xytzextye，，求dzdt。[解1]：由多元复合函数的求导公式知：dzzdxzdydtxdtydt22sin2cos2cos2txyxyttetdzeteeetedt；[解2]：将sin,txtye代入方程2xyze中，则函数化为sin2tteze一元复合函数，利用一元复合函数的求导公式知sin2sin2sin2cos2tttettetdzeteetedt。14、设22,zuvuv而,uxyvxy，求,zzxy。[解]：由多元函数的求导公式：zzuzvxuxvx，zzuzvyuyvy。422222321234312zuvvuuvyxyxxyxyx，同理222334312zyxyyxyxy。15、sin,zexyzxy求,zxxy[解]：设,,sin,zFxyzexyzxy则,,cosxFxyzyzxyzy；,,cosyFxyzxzxyzx；,,coszzFxyzexyxyz，由多元隐函数的求导公式：,,cos,,cosxzzFxyzzyzxyzyxFxyzexyxyz；,,cos,,cosyzzFxyzzxzxyzxyFxyzexyxyz。16、设(,,sin)xzfexyy，其中f是可微函数，求zd。[解]：为方便起见记123,,,,sinxffffffxyye由多元复合函数求导公式我们有：1223,cosxzzfefyfxfyxy故1223cosxzzdzdxdyfefydxfxfydyxy。17、：设3(,)(,),,,,xyzefxyguvuxvxfg具有一阶连续偏导数，求,zzxy。[解]：21112(,)(,)(,)3(,)xxyzefxyefxyguvxguvyxx，22(,)(,)lnxyzefxyguvxxy。18、已知函数2322,,,zfxyuxyFuuxy，求,zzxy.[解]：222221zffuxFuxxFxyxxux；22223232zffuyFuyyyFxyxxux。519、设f具有二阶连续偏导，且,xzfxyy，求22222,,,zzzxyxy[解]：设,xuxyvy，为方便起见记2212112222,,,zzzzffffuvuv221221,zzffuvvu，因为f具有二阶连续偏导，故1221ff。1）121zzuzvyffxuxvxy22111221221112222211112zyfyffyfyfffxyyyy；2）2111122212222211zxxfyfxfffxfxyyyyy121122231xffxyffyy；3）122zzuzvxxffyuyvyy2111222122223222zxxxxxfxfffxfyyyyy222111222224322xxxxffffyyy。20、设f具有连续导数，yzxyxfx，证明zzxyxyzxy[证明]：2zyyyyyyyfxfyffxxxxxxx1zyyxxfxfyxxxzzyyyyxyxyffyxfxyxxxx2yyxyxfxyxyxfxyzxx6zzxyxyzxy。21、设f具有连续偏导，方程,zfxzzy确定z是,xy的函数，求,zxxy[解]：设,uxyvzy，为方便起见记12,,zzffuv令,,,Fxyzzfxzzy由上式知1,,xFxyzfz；22,,1yFxyzff；1212,,111zFxyzfxfxff；由隐函数求导公式可得112,,,,1xzFxyzzfzxFxyzxff；212,,,,1yzFxyzfzxFxyzxff。22、设函数,uv具有连续偏导数，验证方程,0cxazcybz所确定的函数,zzxy满足zxabcxy[证明]：设,,,Fxyzcxazcybz，,ucxazvcybz，记1Fu，2Fv则有1,,xFuFvFxyzcuxvx，2,,yFuFvFxyzcuyvy；12,,zFuFvFxyzabuzvz；由隐函数求导公式112,,,,xzFxyzczxFxyzab；212,,,,yzFxyzczyFxyzab，则有121212cczxababcxyabab，zxabcxy。23、求曲线sin1cos4sin2xttyttz在2t处切线与法平面方程7[解]：1）先求切点坐标：,,1,1,222222xyz；2）再求切向量,,Txtytzt1cossin2cos2xttytttzt切线在该点的切向量为,,222Txyz1cos,sin,2cos1,1,2224；3）曲线在该点的切线方程：11222112xyz；曲线在该点的法平面方程：1122202xyz2402xyz。24、在曲线23xtytzt的所有切线中，与平面24xyz平行的切线（）A）只有一条；B）只有两条；C）至少有三条；D）不存在。[解]：已知切线方向向量与平面法向量垂直，于是2111(2)2310(31)(1)0,13tttttt，所以只有两条切线。应选B。25、求曲面2222321xyz上平行与平面460xyz的切平面方程[解]：1）先求切点坐标：令曲面方程为222,,23210Fxyzxyz，则曲面上点000,,xyz处切平面的法向量为：000000000000,,,,,,,,2,4.6xyznFxyzFxyzFxyzxyz，由题设向量n与已知平面的法向量11,4,6n平行，000246