2013届专题10_排列组合(教师版学案)

排列组合二项式定理1．两个基本原理(1)分类加法计数原理；(2)分类乘法计数原理；2．排列(1)定义；(2)排列数公式：Amn＝n！n－m！(n，m∈N，m≤n)；3．组合(1)定义；(2)组合数公式；(3)组合数的性质：Cmn＝Cn－mn(m，n∈N，且m≤n)；Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n(m，n∈N，且m≤n)．4．二项式定理(a＋b)n展开式共有n＋1项，其中r＋1项Tr＋1＝Crnan－rbr.5．二项式系数的性质二项式系数是指C0n，C1n，…，Cnn这n＋1个组合数．二项式系数具有如下几个性质：(1)对称性、等距性、单调性、最值性；(2)Crr＋Crr＋1＋Crr＋2＋…＋Crn＝Cr＋1n＋1；C0n＋C1n＋C2n＋…＋Crn＋…＋Cnn＝2n；C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1；C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nCnn＝n·2n－1等．考点一两个计数原理的应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．例1、给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有________种(结果用数值表示)．解析：〈1〉以黑色正方形的个数分类，①若有3个黑色正方形，则有C34＝4种；②若有2个黑色正方形，则有C25＝10(种)；③若有1个黑色正方形，则有C16＝6(种)；④若无黑色正方形，则有1种．∴共4＋10＋6＋1＝21(种)．〈2〉法一：至少有2个黑色正方形相邻包括有2个黑色正方形相邻，有3个黑色正方形相邻，有4个黑色正方形相邻，有5个黑色正方形相邻，有6个黑色正方形相邻．①只有2个黑色正方形相邻，有A23＋A24＋C15＝23(种)；②只有3个黑色正方形相邻，有C12＋A23＋C14＝12(种)；③只有4个黑色正方形相邻，有C12＋C13＝5(种)；④只有5个黑色正方形相邻，有C12＝2(种)；⑤有6个黑色正方形相邻，有1(种)．共23＋12＋5＋2＋1＝43(种)．法二：所求事件的对立事件为“黑色正方形互不相邻”，由〈1〉知共有21种，而给6个相连正方形着黑色、白色的方案共有26种，故所求事件的种数为：26－21＝43.答案：2143【变式探究】正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A．20B．15C．12D．10【方法技巧】1．在应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步．每一步当中又可能用到分类计数原理．2．对于较复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.考点二排列组合1．排列数公式：Amn＝n(n－1)…(n－m＋1)＝n！n－m！.2．组合数公式：Cmn＝AmnAmm＝nn－n－m＋m！＝n！m！n－m！.3．组合数的性质：①Cmn＝Cn－mn；②Cmn＋Cm－1n＝Cmn＋1.例2、由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A．72B．96C．108D．144【变式探究】在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为________．考点三二项式定理1．二项式定理：(a＋b)n＝C0nanb0＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn.2．通项与二项式系数：Tr＋1＝Crnan－rbr，其中Crn(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．3．各二项式系数之和：(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.(2)C1n＋C3n＋…＝C0n＋C2n＋…＝2n－1.4．二项式系数的性质：(1)二项式系数首末两端“等距离”相等，即Crn＝Cn－rn.(2)二项式系数最值问题当n为偶数时，中间一项即第n2＋1项的二项式系数2Cnn最大；当n为奇数时，中间两项即第n＋12，n＋32项的二项式系数12Cnn，12Cnn相等且最大．例3、(x＋ax)(2x－1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A．－40B．－20C．20D．40【变式探究】设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝__________.【方法技巧】在应用通项公式时，要注意以下几点(1)它表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定．(2)Tr＋1是展开式中的第r＋1项而不是第r项．(3)二项式系数与项的系数不同，项的系数除包含二项式系数外，还与a、b中的系数有关．【难点探究】难点一计数原理例1、某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图18－1所示正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i＝1,2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有()A．22种B．24种C．25种D．36种难点二排列与组合例2、在送医下乡活动中，某医院安排3名男医生和2名女医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且女医生不安排在同一乡医院工作，则不同的分配方法总数为()A．78B．114C．108D．120【分析】先分组后分配，然后减去两名女医生在一个医院的情况．【答案】B【解析】五人分组有(1,1,3)，(1,2,2)两种分组方案，方法数是C15C14C33A22＋C15C24C22A22＝25，故分配方案的总数是25A33＝150种．当仅仅两名女医生一组时，分组数是C13，当两名女医生中还有一名男医生时，分组方法也是C13，故两名女医生在一个医院的分配方案是6A33＝36.符合要求的分配方法总数是150－36＝114.难点三二项式定理例3、若3x－1xn的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________．1.【2012高考真题重庆理4】821xx的展开式中常数项为A.1635B.835C.435D.1052.【2012高考真题浙江理6】若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A.60种B.63种C.65种D.66种【答案】D【解析】从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数的取法分为三类；第一类是取四个偶数，即545C种方法；第一类是取两个奇数，两个偶数，即602425CC种方法；第三类是取四个奇数，即144C故有5+60+1=66种方法。故选D。3.【2012高考真题新课标理2】将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）()A12种()B10种()C种()D种4.【2012高考真题四川理1】7(1)x的展开式中2x的系数是（）A、42B、35C、28D、21【答案】D【解析】由二项式定理得252237121TCxxgg，所以2x的系数为21，选D.5.【2012高考真题四川理11】方程22aybxc中的,,{3,2,0,1,2,3}abc，且,,abc互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A、60条B、62条C、71条D、80条6.【2012高考真题陕西理8】两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A.10种B.15种C.20种D.30种【答案】C.【解析】首先分类计算假如甲赢，比分3：0是1种情况；比分3：1共有3种情况，分别是前3局中（因为第四局肯定要赢），第一或第二或第三局输，其余局数获胜；比分是3：2共有6种情况，就是说前4局2：2，最后一局获胜，前4局中，用排列方法，从4局中选2局获胜，有6种情况.甲一共就1+3+6=10种情况获胜.所以加上乙获胜情况，共有10+10=20种情况.故选C.7.【2012高考真题山东理11】现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为（A）232(B)252(C)472(D)4848.【2012高考真题辽宁理5】一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(A)3×3！(B)3×(3！)3(C)(3！)4(D)9！9.【2012高考真题湖北理5】设aZ，且013a，若201251a能被13整除，则aA．0B．1C．11D．12【答案】D【解析】由于[Z_xx_k.Com]51=52-1，152...5252)152(1201120122011120122012020122012CCC,又由于13|52,所以只需13|1+a，0≤a13,所以a=12选D.10.【2012高考真题北京理6】从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为()A.24B.18C.12D.611.【2012高考真题安徽理7】2521(2)(1)xx的展开式的常数项是（）()A3()B2()C()D[【答案】D【解析】第一个因式取2x，第二个因式取21x得：1451(1)5C，第一个因式取2，第二个因式取5(1)得：52(1)2展开式的常数项是5(2)3．12.【2012高考真题安徽理10】6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（）()A1或3()B1或4()C2或3()D2或413.【2012高考真题天津理5】在52)12(xx的二项展开式中，x的系数为（A）10（B）-10（C）40（D）-40【答案】D【解析】二项展开式的通项为kkkkkkkkxCxxCT)1(2)1()2(310555251，令1310k，解得3,93kk，所以xxCT40)1(232354，所以x的系数为40，选D.14.【2012高考真题全国卷理11】将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种15【2012高考真题重庆理15】某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）.16.【2012高考真题浙江理14】若将函数5fxx表示为250125111fxaaxaxax，其中0a，1a，2a，…，5a为实数，则3a＝______________．【答案】10【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．即：545543315544310100aCaaaCaCaa．法二：对等式：2550125111fxxaaxaxax两边连续对x求导三次得：2234560624(1)60(1)xaaxax，再运用赋值法，令1x得：3606a，即310a．18.【2012高考真题上海理5】在6)2(xx的二项展开式中，常数项等于。【答案】160-【解析】二项展开式的通项为kkkkkkkxCxxCT)2()2(26666661，