2012年湖北省高考压轴卷数学文试卷

绝密★启用前2012湖北省高考压轴卷(数学文)本试题卷共5页，共22题。满分150分。考试用时120分钟。★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果复数2(,)1bibRii为虚数单位的实部和虚部互为相反数，则b的值等于（）A．0B．1C．2D．32．已知集合{1,0,},{|01},AaBxxAB若，则实数a的取值范围是A．{1}B．（—，0）C．d（1，+）D．（0，1）3．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为13，则该几何体的俯视图可以是4．函数xAxfsin（其中0,2A）的图象如图所示，为了得到xxg2sin的图象，则只需将xf的图象()A．向右平移6个长度单位B．向右平移3个长度单位C．向左平移6个长度单位D．向左平移3个长度单位5．给出下面的类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：①“若a、bR，则a一b=0a=b”类比推出“a、b∈C，则a一b=0a=b”②“若a、b、c、d∈R，则复数a+bi=c+dia=c,b=d类比推出“若a、b、c、d∈Q，则“a+b2=c+d2a=c,b=d③“若a、bR，则a一bab类比推出“a、b∈C，则a一b0ab”④“若xR，则|x|1一1x1”类比推出“Z∈C，则|z|1一1zl其中类比结论正确的个数为A．1B．2C．3D．46．如图，D,C,B三点在地面同一直线上，DC=a，从C,D两点测得A点的仰角分别是，（），则点A离地面的高度AB等于7．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为O的等差数列{na}，若a3=8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是A．13,12B．13,13C．12,13D．13,14．8．已知函数32()2,()log,()xfxxgxxxhxxx零点依次为a，b,c，则A．bcaB．bacC．abcD．cba9．已知S,A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC,SA=AB=l，BC=2，则球O的表面积等于A．4B．3C．2D．10．已知双曲线22221(0,0)xyabab被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值为（）A．5B．102C．62D．52二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.如图是2012年某高校自主招生面试环节中,7位评委对某考生打出的分数茎叶统计图.去掉一个最高分和一个最低分后,所剩B=0？C=A除以B的余数A=BB=C输出A输入非零正整数A,B开始结束否是数据的平均数为____，方差为____.12.某单位为了了解用电量y（度）与气温茗（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据，得线性回归方程ˆy=-2x十口．当气温为一4℃时，预测用电量的度数约为。13.设有算法如图：如果输入A=144,B=39,则输出的结果是.14．设22,1,()(22)1,log(1),1xaaxfxfxx且则a=；((2))ff。15.如果数列1a，21aa，32aa，…，1nnaa，…是首项为1，公比为2的等比数列，则5a等于16．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，定义两点1122(,),(,)PxyQxy之间的“直角距离”为1212(,)dPQxxyy.已知(1,0)B，点M为直线20xy上的动点，则(,)dBM的最小值为.17．定义：S为R的真子集，,xyS，若,xySxyS，则称S对加减法封闭。有以下四个命题，请判断真假：①自然数集对加减法封闭；②有理数集对加减法封闭；③若有理数集对加减法封闭，则无理数集也对加减法封闭；④若12,SS为R的两个真子集，且对加减法封闭，则必存在cR，使得12cSS；四个命题中为“真”的是；（填写序号）三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B＝60°，cos(B＋C)＝－1114．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若a＝5，求△ABC的面积．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点．已知PD＝2，CD＝4，AD＝3．（Ⅰ）若∠ADE＝π6，求证：CE⊥平面PDE；（Ⅱ）当点A到平面PDE的距离为2217时，求三棱锥A-PDE的侧面积．20．（本小题满分13分）某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生的视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…，（5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：分组频数频率（3.9，4.2]30.06（4.2，4.5]60.12（4.5，4.8]25x（4.8，5.1]yz（5.1，5.4]20.04合计n1.00（Ⅰ）求频率分布表中未知量n，x，y，z的值；（Ⅱ）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．21．（本小题满分14分）设a∈R，函数f(x)＝lnx－ax．（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间和极值；（Ⅱ）已知x1＝e（e为自然对数的底数）和x2是函数f(x)的两个不同的零点，求a的值并证明：x2＞e23．22．（本小题满分14分）已知椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为23，半焦距为c（c＞0），且a－c＝1．经过椭圆的左焦点F，斜率为k1（k1≠0）的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）当k1＝1时，求S△AOB的值；（Ⅲ）设R（1，0），延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为k2，求证：k1k2为定值．数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，满分50分．1—5：ADDAB6-10:ABADA二、填空题：每小题5分，满分35分．11．85，1.612.6813.314．7，615．3216．317．②④三、解答题：本大题共5小题，共65分．18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，由cos(B＋C)＝－1114，得sin(B＋C)＝1－cos2(B＋C)＝1－(－1114)2＝5314，∴cosC＝cos[(B＋C)－B]＝cos(B＋C)cosB＋sin(B＋C)sinB＝－1114×12＋5314×32＝17．…………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ），得sinC＝1－cos2C＝1－(17)2＝437，sinA＝sin(B＋C)＝5314．在△ABC中，由正弦定理asinA＝csinC，得55314＝c437，∴c＝8，故△ABC的面积为S＝12acsinB＝12×5×8×32＝103．…………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在Rt△DAE中，AD＝3，∠ADE＝π6，∴AE＝AD·tan∠ADE＝3·33＝1．又AB＝CD＝4，∴BE＝3．在Rt△EBC中，BC＝AD＝3，∴tan∠CEB＝BCBE＝33，∴∠CEB＝π6．又∠AED＝π3，∴∠DEC＝π2，即CE⊥DE．∵PD⊥底面ABCD，CE底面ABCD，∴PD⊥CE．∴CE⊥平面PDE．……………………………………………………………（6分）（Ⅱ）∵PD⊥底面ABCD，PD平面PDE，∴平面PDE⊥平面ABCD．如图，过A作AF⊥DE于F，∴AF⊥平面PDE，∴AF就是点A到平面PDE的距离，即AF＝2217．在Rt△DAE中，由AD·AE＝AF·DE，得3AE＝2217·3＋AE2，解得AE＝2．∴S△APD＝12PD·AD＝12×2×3＝62，S△ADE＝12AD·AE＝12×3×2＝3，∵BA⊥AD，BA⊥PD，∴BA⊥平面PAD，∵PA平面PAD，∴BA⊥PA．在Rt△PAE中，AE＝2，PA＝PD2＋AD2＝2＋3＝5，∴S△APE＝12PA·AE＝12×5×2＝5．∴三棱锥A-PDE的侧面积S侧＝62＋3＋5．…………………………（12分）20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由频率分布表可知，样本容量为n，由2n＝0.04，得n＝50．∴x＝2550＝0.5，y＝50－3－6－25－2＝14，z＝yn＝1450＝0.28．……………（6分）（Ⅱ）记样本中视力在（3.9，4.2]的3人为a，b，c，在（5.1，5.4]的2人为d，e．由题意，从5人中随机抽取两人，所有可能的结果有：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{c，d}，{c，e}，{d，e}，共10种．设事件A表示“两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A包含的可能的结果有：{a，b}，{a，c}，{b，c}，{d，e}，共4种．∴P(A)＝410＝25．故两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为25．…………………………（13分）21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为（0，＋∞）．求导数，得f′(x)＝1x－a＝1－axx．①若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)是（0，＋∞）上的增函数，无极值；②若a＞0，令f′(x)＝0，得x＝1a．当x∈（0，1a）时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；当x∈（1a，＋∞）时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．∴当x＝1a时，f(x)有极大值，极大值为f(1a)＝ln1a－1＝－lna－1．综上所述，当a≤0时，f(x)的递增区间为（0，＋∞），无极值；当a＞0时，f(x)的递增区间为（0，1a），递减区间为（1a，＋∞），极大值为－lna－1．…（8分）（Ⅱ）∵x1＝e是函数f(x)的零点，∴f(e)＝0，即12－ae＝0，解得a＝12e＝e2e．∴f(x)＝lnx－12ex．∵f(e23)＝32－e2＞0，f(e25)＝52－e22＜0，∴f(e23)f(e25)＜0．由（Ⅰ）知，函数f(x)在（2e，＋∞）上单调递减，∴函数f(x)在区间（e23，e25）上有唯一零点，因此x2＞e23．………………………………………………………………（14分）22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得ca＝23，a－c＝1。解得a＝3，c＝2。∴b2＝a2－c2＝5，故椭圆Γ的方程为x29＋y25＝1．………………………………………………（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ），知F（－2，0），∴直线AB的方程为y＝x＋2，由y＝x＋2，x29＋y25＝1．消去y并整理，得14x2＋36x－9＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－187，x1x2＝－914，∴|AB|＝2|x1－x2|＝2·(x1＋x2)2－4x1x2＝307．设O点到直线AB的距离为d，则d＝|0－0＋2|2＝2．∴S△AOB＝12|AB|·d＝12×307×2＝1527．…………………………………（8分）（Ⅲ）设C（x3，y3），D（x4，y4）