2012年湖北省高考压轴卷数学理试卷

第1页共10页绝密★启用前KS5U2012年湖北省高考压轴卷数学理本试卷共5页，共22题，其中第15、16题为选考题。满分150分。考试用时120分钟。★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑。考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合}1,0,1{M，},{2aaN则使M∩N＝N成立的a的值是（）A．1B．0C．－1D．1或－12．若(2)aiibi，其中,abR，i是虚数单位，复数abi（）A．12iB．12iC．12iD．12i3．如果随机变量ξ～N（μ，σ2），且Eξ=3，Dξ=1，则P（－1＜ξ≤1）=（）A．2Φ（1）－1B．Φ（－4）－Φ（－2）C．Φ（2）－Φ（4）D．Φ（4）－Φ（2）4．设kR，下列向量中，与向量Q=（1，-1）一定不平行的向量是（）A．b=（k，k）B．c=（-k，-k）C．d=（k2+1,k2+1）D．e=（k2一l,k2—1）5．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（）m2．正视图侧视图俯视图第2页共10页A．624B．64C．224D．246.设函数)22,0)(sin(3)(xxf的图像关于直线32x对称,它的周期是,则（）A.)(xf的图象过点)21,0(B.)(xf在]32,12[上是减函数C.)(xf的一个对称中心是)0,125(D.将)(xf的图象向右平移||个单位得到函数xysin3的图象.7．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．258B．642C．780D．15388．双曲线22221(1,1)yxabab的离心率为2，则213ba的最小值为（）.A．334B．333C．2D．2319．若a满足4lgxx，b满足410xx，函数0,20,2)()(2xxxbaxxf，则关于x的方程xxf)(的解的个数是()A．4B．3C．2D.110．设O是正三棱锥ABCP的底面⊿ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则PSPRPQ111()A、有最大值而无最小值B、有最小值而无最大值C、无最大值也无最小值D、是与平面QRS无关的常数二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题（11—14题）11．对任意的实数x，有3230123(2)(2)(2)xaaxaxax，则a2的值是。12．若点(cos,sin)P在直线2yx上,则sin22cos2=.第3页共10页13．如图所示高脚杯的轴截面是方程为)0(22ppyx的抛物线，现放一半径为r小球到高脚杯中，若小球能落到杯子底部，则小球的半径r的取值范围为.14．由9个正数组成的数阵111213212223313233aaaaaaaaa每行中的三个数成等差数列，且131211aaa，232221aaa，333231aaa成等比数列．给出下列结论：①第二列中的322212,,aaa必成等比数列；②第一列中的312111,,aaa不一定成等比数列；③23213212aaaa；④若9个数之和大于81，则22a9．其中正确的序号有．（填写所有正确结论的序号）．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选，则按第15题作答结果计分.）15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CDAB，垂足为D，且5ADDB，设COD，则tan的值为.16．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为为参数），，ttytx(33.以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为03cos42，则圆心C到直线l距离为。三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分11分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，q=（a2，1），p=（cb2，Ccos）且qp//．求：（I）求sinA的值；（II）求三角函数式1tan12cos2CC的取值范围．第4页共10页18．（本小题满分12分）某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：根据上表：（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为，求随机变量的分布列和数学期望。19．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PACD，PA=1，PD＝2，E为PD上一点，PE=2ED．（Ⅰ）求证：PA平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D－AC－E的余弦值；（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF//平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．20、（本小题满分13分）如图，F1、F2分别为椭圆222210xy(ab)ab的焦点，椭圆的右准线l与x轴交于A点，若11,0F，且122AFAF.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F1、F2作互相垂直的两直线分别与椭圆交于P、Q、M、N四点，求四边形PMQN面积的取值范围．EPDCBA第5页共10页21．（本小题满分13分）已知数列na满足411a，2)1(11nnnnaaa（Nnn,2）。（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）设21nnab，求nb的前n项和nS；（Ⅲ）设2)12(sinnacnn，数列nc的前n项和nT，求证：对74,nTNn。22.(本小题满分14分)已知函数()ln0xafxaxax（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值；（Ⅱ）求证：对于任意正整数n，均有1111ln23!nenn（e为自然对数的底数）；（Ⅲ）当a＝1时，是否存在过点（1，－1）的直线与函数()yfx的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．天·星om权天·星om权Tesoon.com天星版权tesoon天星第6页共10页数学（理）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.CBDCACBABD二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11、612、－213、pr014、①②③15．5216．532三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、解：（I）∵qp//，∴cbCa2cos2，根据正弦定理，得CBCAsinsin2cossin2，又sinsinsincoscossinBACACAC，1sincossin2CAC，0sinC，21cosA，又0A3A；sinA=23………………………5分（II）原式CCCCCCCCCcossin2cos21cossin1)sin(cos211tan12cos2222，)42sin(22cos2sinCCC，∵320C，∴1213424C，∴1)42sin(22C，∴2)42sin(21C，∴)(Cf的值域是]2,1(．…………………………11分18、解（I）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A，则1221()(1)(1)(1)23318PA………………………………………………………4分（II）的可能值得为0，1，2，3，4，54121(0)(1)(1),2348P1344112121(1)(1)(1)(1),223238PC22213441121127(2)()(1)(1)(1),22322324PCC第7页共10页33222441121121(3)()(1)(1)()(1),2232233PCC4334121121(4)()(1)()(1),2322316PC4121(5)(),2324P……………………………………………………………9分所以随机变量的分布列如下：012345P1481872413316124故117131801234548824316243E………………………12分19、解：（Ⅰ）PA=PD=1,PD=2,PA2+AD2=PD2,即：PAAD---2分又PACD,AD,CD相交于点D,PA平面ABCD-------4分（Ⅱ）过E作EG//PA交AD于G，从而EG平面ABCD，且AG=2GD,EG=13PA=13,------5分连接BD交AC于O,过G作GH//OD，交AC于H，连接EH．GHAC,EHAC,EHG为二面角D—AC―E的平面角．-----6分tanEHG=EGGH=22．二面角D—AC―E的平面角的余弦值为36-------8分（Ⅲ）以AB,AD,PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），E（0,23,13）,AC=（1,1,0）,AE=（0,23,13）---9分设平面AEC的法向量n=（x,y,z）,则00AEnACn，即：020zyyx，令y=1,则n=（-1,1,-2）-------------10分假设侧棱PC上存在一点F,且CF＝CP，（01）,使得：BF//平面AEC,则BFn＝0．第8页共10页又因为：BF＝BC+CF＝（0，1，0）+（-,-,）=（-,1-,）,BFn＝+1--2=0,=12,所以存在PC的中点F,使得BF//平面AEC．----------------12分20、解：(I)由F1(-1，0)得1c,∴A点坐标为2,0a；……2分∵122AFAF∴2F是1AF的中点∴223,2ab∴椭圆方程为22132xy……5分(II)当直线MN与PQ之一与x轴垂直时，四边形PMQN面积142SMNPQ；…………6分当直线PQ，MN均与x轴不垂直时，不妨设PQ：10ykxk，联立22(1)132ykxxy代入消去y得