2013届高三江苏专版数学一轮复习课时作业(31)数列的综合应用

课时作业(三十一)[第31讲数列的综合应用][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．已知数列{an}的通项公式是an＝anbn＋1，其中a，b均为正常数，那么an与an＋1的大小关系是________．2．从盛满10L纯酒精的容器里倒出1L，然后用水填满，再倒出1L混合溶液，再用水填满，这样继续下去，一共倒出了5次，这时容器里还有纯酒精________L.3．若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则a1＋a22b1·b2的取值范围是________．4．已知数列{an}中，a1＝a，a为正实数，an＋1＝an－1an(n∈N*)，若a30，则a的取值范围是________．能力提升5．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝________.6．某厂在2011年底制订生产计划，要使2021年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为________．7．[2011·上海长宁二模]设数列{an}中，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”，若a1＝1，a2＝－2，则该数列前6项和为________．8．[2011·无锡联考]已知数列{an}是正项等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b8，则一定有________(填序号)．①a3＋a9≤b9＋b7；②a3＋a9≥b9＋b7；③a3＋a9b9＋b7；④a3＋a9b9＋b7.9．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于________．10．[2011·衡水模拟]设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn，Sn＋1，Sn＋2成等差数列，则公比q＝________.11．通项公式为an＝an2＋n的数列{an}，若满足a1a2a3a4a5，且anan＋1对n≥8恒成立，则实数a的取值范围是________．12．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝an2，an为偶数，3an＋1，an为奇数.若a6＝1，则m所有可能的取值为________．13．(8分)已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4＝2S2＋4，bn＝1＋anan.(1)求公差d的值；(2)若a1＝－52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值．14．(8分)某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年换掉x套的旧设备．(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？下列数据供计算时参考：1.19≈2.361.00499≈1.041.110≈2.591.004910≈1.051.111≈2.851.004911≈1.0615．(12分)[2011·扬州调研]数列{an}的首项为1，前n项和是Sn，存在常数A，B使an＋Sn＝An＋B对任意正整数n都成立．(1)若A＝0，求证：数列{an}是等比数列；(2)设数列{an}是等差数列，若pq，且1Sp＋1Sq＝1S11，求p，q的值．16．(12分)[2011·苏北四市一调]已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝pan－2n，n∈N*，其中常数p2.(1)证明：数列{an＋1}为等比数列；(2)若a2＝3，求数列{an}的通项公式；(3)对于(2)中数列{an}，若数列{bn}满足bn＝log2(an＋1)(n∈N*)，在bk与bk＋1之间插入2k－1(k∈N*)个2，得到一个新的数列{cn}，试问：是否存在正整数m，使得数列{cn}的前m项的和Tm＝2011？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．课时作业(三十一)【基础热身】1．anan＋1[解析]因为an＋1－an＝an＋1bn＋1＋1－anbn＋1＝an＋abn＋1－anbn＋b＋1bn＋b＋1bn＋1＝abn＋b＋1bn＋10，所以anan＋1.2．9×0.94[解析]第一次倒出后还有纯酒精：10－1＝9(L)；第二次倒出后还有纯酒精：(9－1×0.9)L；第三次倒出后还有纯酒精：(9－1×0.9)－0.1×(9－1×0.9)＝(9－1×0.9)×0.9＝9×0.92(L)，所以第五次倒出后还有纯酒精9×0.94L.3．(－∞，0]∪[4，＋∞)[解析]在等差数列中，a1＋a2＝x＋y，在等比数列中，xy＝b1·b2，∴a1＋a22b1·b2＝x＋y2x·y＝x2＋2xy＋y2x·y＝xy＋yx＋2，当x·y0时，xy＋yx≥2，故a1＋a22b1·b2≥4；当x·y＜0时，xy＋yx≤－2，故a1＋a22b1·b2≤0.4.－1＋52，1∪1＋52，＋∞[解析]a3＝a2－1a2＝a1－1a1－1a1－1a1＝a2－12－a2aa2－10，∴a－1＋52a－1－52a－－1－52a－－1＋52aa＋1a－10，∵a0，∴a－1＋52a－－1＋52a－10.故a∈－1＋52，1∪1＋52，＋∞.【能力提升】5．15[解析]∵4a1,2a2，a3成等差数列，∴4a1＋a3＝4a2，即4a1＋a1q2＝4a1q，∴q2－4q＋4＝0，∴q＝2，S4＝15.6.104－1[解析]令2011年底的产量为1，则2021年底的产量为4，则(1＋x)10＝4，∴x＝104－1.7．0[解析]a1＝1，a2＝－2，a3＝－3，a4＝－1，a5＝2，a6＝3，∴S6＝0.8．②[解析]a3＋a9≥2a3a9＝2a26＝2a6＝2b8＝b9＋b7.在等差数列{an}中am＋an＝ap＋aq⇔m＋n＝p＋q.9．60[解析]由a24＝a3a7得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，得2a1＋3d＝0，再由S8＝8a1＋562d＝32得2a1＋7d＝8，则d＝2，a1＝－3，所以S10＝10a1＋902d＝60.10．1[解析]依题意有2Sn＋1＝Sn＋Sn＋2，当q≠1时，有2a1(1－qn＋1)＝a1(1－qn)＋a1(1－qn＋2)，解得q＝1，但q≠1，所以方程无解；当q＝1时，满足条件．11．－19a－117[解析]由an＝an2＋n是二次函数型，且a1a2a3a4a5，且anan＋1对n≥8恒成立，得92－12a172，可知－19a－117.12．4或5或32[解析](1)若a1＝m为偶数，则a12为偶数，故a2＝m2，a3＝a22＝m4，①当m4仍为偶数时，a4＝m8，…，a6＝m32，故m32＝1⇒m＝32.②当m4为奇数时，a4＝3a3＋1＝34m＋1，…，a6＝34m＋14，故34m＋14＝1得m＝4.(2)若a1＝m为奇数，则a2＝3a1＋1＝3m＋1为偶数，故a3＝3m＋12必为偶数，a6＝3m＋116，所以3m＋116＝1可得m＝5.13．[解答](1)∵S4＝2S2＋4，∴4a1＋3×42d＝2(2a1＋d)＋4，解得d＝1.(2)∵a1＝－52，∴数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝n－72，∴bn＝1＋1an＝1＋1n－72.∵函数f(x)＝1＋1x－72在－∞，72和72，＋∞上分别是单调减函数，∴b3b2b11，当n≥4时，1bn≤b4，∴数列{bn}中的最大项是b4＝3，最小项是b3＝－1.14．[解答](1)10年后学生人数为b(1＋4.9‰)10＝1.05b.又设今年起学校的合格实验设备为数列{}an，则a1＝1.1a－x，an＋1＝1.1an－x，(*)令an＋1＋λ＝1.1(an＋λ)，则an＋1＝1.1an＋0.1λ，与(*)式比较知λ＝－10x，故数列{}an－10x是首项为1.1a－11x，公比为1.1的等比数列，所以an－10x＝(1.1a－11x)·1.1n－1，an＝10x＋(1.1a－11x)·1.1n－1.a10＝10x＋(1.1a－11x)·1.19≈2.6a－16x.由题设得2.6a－16x1.05b＝2×ab，解得x＝132a.即每年更换旧设备为132a套．(2)全部更换旧设备需12a÷a32＝16年．即按此速度全部更换旧设备需16年．15．[解答](1)证明：A＝0时，an＋Sn＝B，当n≥2时，由an＋Sn＝B，an－1＋Sn－1＝B，得an－an－1＋(Sn－Sn－1)＝0，即anan－1＝12，所以，数列{an}是等比数列．(2)设数列的公差为d，分别令n＝1,2,3得：a1＋S1＝A＋B，a2＋S2＝2A＋B，a3＋S3＝3A＋B，即2＝A＋B，2d＋3＝2A＋B，5d＋4＝3A＋B，解得A＝1，B＝1，d＝0，即等差数列{an}是常数列，所以Sn＝n；又1Sp＋1Sq＝1S11，则1p＋1q＝111，pq－11p－11q＝0，(p－11)(q－11)＝112，因pq，所以p－11＝1，q－11＝112，解得p＝12，q＝132.16．[解答](1)证明：因为2Sn＝pan－2n，所以2Sn＋1＝pan＋1－2(n＋1)，所以2an＋1＝pan＋1－pan－2，所以an＋1＝pp－2an＋2p－2，所以an＋1＋1＝pp－2(an＋1)，因为2a1＝pa1－2，所以a1＝2p－20，所以a1＋10，所以an＋1＋1an＋1＝pp－2≠0，所以数列{an＋1}为等比数列．(2)由(1)知an＋1＝pp－2n，所以an＝pp－2n－1，又因为a2＝3，所以pp－22－1＝3，所以p＝4或p＝43(舍去)，所以an＝2n－1.(3)由(2)得bn＝log22n，即bn＝n(n∈N*)，数列{cn}中，bk(含bk项)前的所有项的和是：(1＋2＋3＋…＋k)＋(20＋21＋22＋…＋2k－2)×2＝kk＋12＋2k－2，当k＝10时，其和是55＋210－2＝10772011，当k＝11时，其和是66＋211－2＝21122011，又因为2011－1077＝934＝467×2，是2的倍数，所以当m＝10＋(1＋2＋22＋…＋28)＋467＝988时，Tm＝2011，所以存在m＝988使得Tm＝2011.