2013年浙江大学物理竞赛讲义恒定电流

稳恒电流讲义一、电路的基本概念及规律1.电流强度电荷的定向运动形成电流，电流强度即单位时间内通过导体任一截面的电量。设在时间间隔△t通过某一截面的电量为△Q，则电流强度为QIt电流的微观表达式：nesI（其中n为电荷的数密度，S为导体的横截面积，v为电荷定向移动的速度）2.电流密度在通常情况的电路问题中，通过导线截面的电流用电流强度描述就可以了，但在讨论大块导体中的电流的流动时，用电流强度描述就过于粗糙了，这是因为电流在截面上将会有一个强弱不同的分布，而且各点的电流方向可能并不一致。为此需引入电流密度j，电流密度的定义，考虑导体中某一给定点P，在该点沿电流方向作一单位矢量n，并取一面元△S与n垂直，设通过△S的电流强度为△I，则定义P点处电流密度的大小为nevSIj电流密度的单位为安培／米2（A·m－2）。通过导体任一有限截面△S的电流强度为：niiinSjI1lim3．电动势正电荷在电场力的作用下从高电势处移到低电势处，而一非静电力把正电荷从低电势处搬运到高电势处，提供非静电力的装置称为电源．电源内的非静电力克服电源内静电力作用，把流到负极的正电荷从负极移到正极．若正电荷q受到非静电力f非，则电源内有非静电场，非静电场的强度E非也类似电场强度的定义：kfEq非将非静电场把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时所做的功定义为电源的电动势，即WElq非非4．欧姆定律通过一段导体的电流强度与导体两端的电压成正比，与电阻R成反比，即RUI这条定律，只适用于金属和电解液，即R为常数的情形。满足欧姆定律的元件的电阻称为线性电阻，对于非线性元件，欧姆定律不适用，但仍可定义电阻IUR/，只是R还与工作状态下的电压、电流有关。5．欧姆定律的微观表达式设想在载有稳恒电流的各向同性的导体内取一长度为l，垂直截面积为S的小电流管分析，有SlURUI则：lUSIEEj1（为电导率）,即Ej6．含源电路的欧姆定律如图所示含有电源的电路称为含源电路．含源电路的欧姆定律就是找出电路中两点间电压与电流的关系．常用“数电压”的方法．即从一点出发，沿一方向，把电势的升降累加起来得到另一点的电势，从而得到两点间的电压．设电流从a流向b，则有1122abUIrIRIrUa、b两点间电压为1212abUUIrIRIr写成一般形式abiiiUU（IR）闭合回路的欧姆定律：对于上图可把a、b两点连起来形成一闭合回路，则0abUU，即12120IrIRIr，1212-IrrR，写成一般形式：iiIR二、题型与方法题型一：复杂电路的计算问题方法一：基尔霍夫定律1：基尔霍夫第一定律——节点定则：流入任何一个节点的总电流必等于流出该节点的总电流.1234IIII注意：N个节点，可以列N-1个独立方程2：基尔霍夫第二定律——回路定则：沿任一闭合回路的电势变化的代数和为零（或沿任一闭合回路,升高的电势等于降落的电势）注意：M个网孔，可以列M个独立方程【例1】如图所示，电源电动势VV0.1,0.321，内阻0.1,5.021rr，电阻0.19,5.4,0.5,0.104321RRRR，求电路中三条支路上的电流强度。方法二：叠加原理内容：含源网络中每一个支路中的电流，可以看作网络中每一个电源在支路中独立提供的电流的叠加．方法：在计算每个电源独立作用提供的电流时，应将其它电源的电动势去掉，仅保留其内阻。方法三：等效电压源（戴维宁定理）任意一含源的二端网络都可以等效成一电动势为E0，电源内阻为r0的电源。求E0的方法：网络两端开路时的路端电压求r0的方法：网络除电源后的等效电阻方法四：等效电流源（诺尔顿定律）两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的电流I0等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络两端看除电源后的等效电阻【例2】如图，电路构成为四面体的棱，各电阻均为R=2Ω，各电源电动势均为E=2V，内阻均为r=1Ω，求节点B、C间的电压。【例3】在如图复15-6所示的网络中，仅知道部分支路上电流值及其方向、某些元件参数和支路交点的电势值（有关数值及参数已标在图上）。请你利用所给的有关数值及参数求出含有电阻Rx的支路上的电流值及其方向。【例4】若干个电阻构成如图所示的电路，其中A和B两点的接地电阻是固定不变的。输入电压V1，V2，…Vn仅取1V或0V两个值，0V表示接地。(1)当n=3时，B点输出电压有几种可能的值？(2)当n→∞时，B点的最大输出电压是多少？题型二：等效电阻求解问题方法一：等势缩点法:利用对称性求电路的等效电阻问题【例5】如图所示的电阻网络，每一段的电阻为r，求AB的等效电阻和MN之间的等效电阻。【提高】由单位长度电阻为r的导线组成如图所示的正方形网络系列．n=1时，正方形网络边长为L,n=2时，小正方形网络的边长为L/3；n=3时，最小正方形网络的边长为L/9．当n=1、2、3时，各网络上A、B两点间的电阻分别为多少？【例6】一正方体，每一条边的电阻为R，求RAC，RAD，RAG。【相关变换】如图所示的平面电阻丝网络中，每一直线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为r．试求A、B两点间的等效电阻．AB2Ω【提高】如图所示，正六边形每条棱的电阻都为r，每个顶点至中心O连线电阻也为r。1）求A,H两点的电阻；2）求A,B两点的电阻。方法二：利用递推法求解等效电阻【例7】：在图8-11甲所示无限网络中，每个电阻的阻值均为R，试求A、B两点间的电阻RAB。【相关变换1】在图8-13甲所示的三维无限网络中，每两个节点之间的导体电阻均为R，试求A、B两点间的等效电阻RAB。【相关变换2】试求框架上A、B两点间的电阻RAB．此框架是用同种细金属制作的，单位长度的电阻为ρ．一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷，如图所示．取AB边长为a，以下每个三角形的边长依次减少一半．【相关变换3】如图所示，由粗细、质地均匀的细金属丝连成的无限内接网络。已知金属丝单位长度的电阻为ρ，求等效电阻RAB（ABC为等边三角形，且边长为a，内接三角形的顶点均为三角形各边的中点）【提高】六个相同的电阻（阻值均为R）连成一个电阻环，六个接点依次为1、2、3、4、5和6，如图复16-5-1所示。现有五个完全相同的这样的电阻环，分别称为1D、2D、┅5D。现将2D的1、3、5三点分别与1D的2、4、6三点用导线连接，如图复16-5-2所示。然后将3D的1、3、5三点分别与2D的2、4、6三点用导线连接，┅依此类推。最后将5D的1、3、5三点分别连接到4D的2、4、6三点上。1．证明全部接好后，在1D上的1、3两点间的等效电阻为724627R。2．求全部接好后，在5D上的1、3两点间的等效电阻。方法三：利用电流分布法求等效电阻【例8】电阻分布如图所示，试求A、B间的等效电阻。方法四：利用电流叠加原理求等效电阻【例9】电阻丝网络如图所示，每一小段的电阻均为R，求AB之间的等效电阻R【例10】一个无限延展的矩形线圈平面网络，求任意相邻两点AB间的电阻。变：若把AB间的电阻r去掉，则AB间的电阻为多少？变：若把AB间的电阻换成R，则AB间的电阻为多少？变：若把所有电阻换成电容C，则AB间的等效电容是多少？2R【相关变换】无限大六角形网络,每边电阻为r,求:(1)ab之间电阻;(2)如果电流从a流入,从g流出,求de段的电流.【提高】一个平面把空间分为两个部分。一半充满了均匀的导电介质,而物理学家在另一半空间里工作。他们在平面上画出一个边长为a的正方形的轮廓,并用精细的电极使一电流I0在正方形的两个相邻角,一个流入，一个流出。同时,他们测量另两个角之间的电势差V。如图所示。问物理学家们如何用这些数据来计算均匀介质的电阻率？方法五：利用△-Y转化求解等效电阻312312312333123122312231231212131RRRRRRRRRRRRRRRRRR213322131113322123313322112RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR【例10】试利用△——Y转化求RAG【提高】如图所示电路，图中各电阻均相等为r，电容C1=C2=2C0C3=C0.电源电动势为ε，内电阻为r/12，试求C1,C2,C3,与O连接极板所带电荷。题型三:含容电路的计算【例11】如图7-21所示的电路中，三个电容器完全相同，电源电动势ε1=3.0V，ε2=4.5V，开关K1和K2接通前电容器均未带电，试求K1和K2接通后三个电容器的电压Uao、Ubo和Uco各为多少。【相关变换1】正六面体网络中，四个电阻都相同，ε1=4V，ε2=8V，ε3=12V，ε4=16V，四个电源均不计内阻，C1=C2=C3=C4=1μF。试求：①四电容器积聚的总能；②若将a、b两点短接，C2上将具有多少电荷？【相关变换2】在图示的复杂网络中，所有电源的电动势均为E0，所有电阻器的电阻值均为R0，所有电容器的电容均为C0，则图示电容器A极板上的电荷量为多少？【例12】如图7-22所示，由n个单元组成的电容器网络，每一个单元由三个电容器连接而成，其中有两个的电容为3C，另一个的电容为3C。以a、b为网络的输入端，a′、b′为输出端，今在a、b间加一个恒定电压U，而在a′b′间接一个电容为C的电容器，试求：（1）从第k单元输入端A算起，后面所有电容器储存的总电能；（2）若把第一单元输出端与后面断开，再除去电源，并把它的输入端短路，则这个单元的三个电容器储存的总电能是多少？【相关变换1】由如图所示的电路，其中E为内阻可以忽略的电源的电动势，R为电阻的阻值；K为开关；A、B右边是如图所标的8个完全相同的容量均为C的理想电容器组成的电路，问从合上K到各电容器充电完毕，电阻R上发热消耗的能量是多少？（在解题时，要求在图上标出你所设定的各个电容器极板上电荷的正负）【例13】如图所示,C1=4C0,C2=2C0,C3=C0,电池的电动势为E，内阻不计，C0和E均已知，先在断开S4的条件下，接通S1，S2，S3，令电池给三个电容器充电,然后断开S1，S2，S3，接通S4,使电容器放电,问(1)放电过程中,电阻R上共产生多少热量?(2)放电过程中达到放电量一半时,R上电流多大?【例14】如图所示的一个由正三角型和正六边形组成的平面无限电阻和电容网络。网络内的正三角形每边上有三个串联的电容为C的电容器，除AB边以外，正六边形每边有一个电容为C的电容器，如图所示，网络中正六边形的边长为a，单位长度导线的电阻为r，AB边上有一个电动势为ε，内电阻为零的电池。求：从电建S闭合到系统稳定的过程中，整个网络的电阻所放出的总热量。题型四:非线性电路的分析（含二极管、三极管）【例15】如图16-4-1所示，电阻121kRR，电动势6VE，内阻不计，两个相同的二极管D串联在电路中，二极管D的DDIU特性曲线如图16-6-2所示。试求：1.通过二极管D的电流。2.电阻1R消耗的功率。【例16】两个相同的非理想二极管，其伏安特性曲线如图所示，它们与电容器连在一起，两个电阻器，一个理想电池如图所示接入电路中。两个电阻分别为R=16欧和r=4欧，电池电动势V4，电容器电容C=10-4F，二极管伏安特性曲线参数u0=1V，I0=0.05A。求：（1）电路中电键闭合后电容器充电电压。（2）电容器充电后电键断开，当电容器放电时，求电阻R上释放的热量。哪一个二极管释放热量？【例17】半导体pn结太阳能电池是根据光生伏打效应工作的。当有光照射pn结时，pn结两端会产生电势差，这就是光生伏打效应。当pn结两端接有负载时，光照使pn结内部产生由负极指向正极的电流即光电流，照射光的强度恒定时，光电流是恒定的，已知该光电流为IL；同时，pn结又是一个二极管，当有电流流过负载时，负载两端的电