2012年陕西省高考压轴卷数学理试卷

第1页共7页KS5U2012年陕西省高考压轴卷数学理一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分)1．复数1(1)zzi,则z（）A．iB．-iC．1+iD．1-i2．将)0)(4tan(xy的图像向右平移6个单位长度后，与)6tan(xy的图像重合，则的最小值为（）A.61B.41C.31D.213．已知偶函数()fx在区间0,)单调增加，则满足(21)fx＜1()3f的x取值范围是（）A．（13，23）B.［13，23）C.（12，23）D.［12，23）4．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）A.18B.24C.30D.365．已知等差数列na中，26a，515a，若2nnba，则数列nb的前5项和等于（）A．30B．45C．180D．906．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（）A.3B．85D．2105C．37．分别在区间]6,1[,]4,1[内各任取一个实数依次为nm,,则nm的概率是（）A．0.3B．0.667C．0.7D．0.7148．一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为()A．12B．32C．1D．13分数54321人数2010303010第2页共7页9．若双曲线22221(0)xyabab的左右焦点分别为1F、2F，线段1F2F被抛物线22ybx的焦点分成7：5的两段，则此双曲线的离心率为()A．98B．63737C．324D．3101010．已知函数()(1)(21)(31)(1)fxxxxnx，则'(0)f()A.2nCB.21nCC.2nAD.21nA二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．二项式1()2nxx的展开式中所有项的二项式系数之和是64，则展开式中含3x项的系数是.12．一个总体分为,AB两层，其个体数之比为4:1，用分层抽样法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数是.13．某算法流程图如图所示，则输出的结果是.14．由曲线yx和3yx围成的封闭图形的面积为.15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A．（选修4—4坐标系与参数方程）已知点A是曲线2sin上任意一点，则点A到直线sin()43的距离的最小值是.B．（选修4—5不等式选讲）不等式22|log||log|xxxx的解集是.C．（选修4—1几何证明选讲）如右图所示,AC和AB分别是圆O的切线，且3OC，4AB,延长AO到D点，则ABD的面积是.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6题，共75分）16．（本题12分）已知ABC的内角,,ABC所对的边分别是,,abc，设向量(,)mab，(sin,sin)nBA，(2,2)pba.第3页共7页（1）若m//n，求证：ABC为等腰三角形；（2）若m⊥p，边长2c，3C，求ABC的面积.17．（本题12分）在数列{}na中，1244nnaan（*nN），123a．（1）求3a，5a的值，（2）设2()nnncaanN，21()nnbanN，nS为数列{}nb前n项和，求nc的通项，并求nS取最小时的n值．18．（本题12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类。这三类工程所含项目的个数分别为6，4，2.现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.（1）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（2）记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望.19．（本题满分12分）如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足111APABR．（1）证明：PN⊥AM；（2）若平面PMN与平面ABC所成的角为45°，试确定点P的位置．20．（本题满分13分）已知抛物线24yx，过点(0,2)M的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与x轴交于点C.(1)求证:||MA，||MC，||MB成等比数列；(2)设MAAC，MBBC，试问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．21．（本题14分）已知函数32()(3)xfxxxaxbe.（1）当3ab时，求()fx的单调区间；（2）若()fx在(,),(2,)单调增加，在(,2),(,)单调减少，证明：＜6.KS5U2012年陕西省高考压轴卷第4页共7页数学理参考答案一、选择题：12345678910ADACDDCACB二、填空题：11.15412.4013.1614.1215.A.52B.(1,)C.485三、解答题：16．证明：（1）//,sinsin,mnaAbBuvvQ即22ababRR，其中R是ABC外接圆半径，ab--------（5分）ABC为等腰三角形--------（6分）解（2）由题意可知m⊥p//0,(2)(2)0mpabbauvuv即，abab--------（8分）由余弦定理可知，2224()3abababab2()340abab即4(1)abab舍去---------（10分）11sin4sin3223SabC----------（12分）17．（1）由1244(1)nnaann≥，212(1)44nnaan22nnaa又21224419aaa,同理得：34521,17,19aaa．……6分（2）由（1）得22nnaa，故2nc，又21()nnbanN，由2nc得{}nb是首项为-23，公差为2的等差数列．从而225nbn令10,0,nnbb得n=12时nS取最小值．……………………12分18．解:记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件,,,iiiABC1,2,3i.由题意知123,,AAA相互独立，123,,BBB相互独立，123,,CCC相互独立，,,ijkABC（,,1,2,3ijk,且,,ijk互不相同）相互独立，且111(),(),().236iiiPAPBPC----------（2分）第5页共7页（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P1233!()PABC1236()()()PAPBPC11116.2366----------（6分）（2）记第i名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件iD,1,2,3i.123,,DDD相互独立，且()iPDP(iiAC)=P(iA)+P(iC)=12+16=23，所以2~(3,)3B,即3321()()()33kkkPkC，0,1,2,3.k--------(10分)故的分布列是0123P12729498272E-------------(12分)19．解：（1）证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz．则P（λ，0,1），N（12，12，0），M（0,1，12），…………………2分从而PN＝（12－λ，12，－1），AM＝（0,1，12），PNAM＝（12－λ）×0＋12×1－1×12＝0，所以PN⊥AM．…………………4分（2）平面ABC的一个法向量为n＝1AA＝（0,0,1）．设平面PMN的一个法向量为m＝（x，y，z），由（1）得MP＝（λ，－1，12）．由.021,021)21(,0,0zyxzyxMPmNPm得………………6分解得))1(2,12,3(,3.3)1(2,312mxxzxy得令．……………8分第6页共7页∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，∴|cos〈m，n〉|＝|m·n|m|·|n||＝|2(1－λ)|9＋(2λ＋1)2＋4(1－λ)2＝22，解得λ＝－12．…………………10分故点P在B1A1的延长线上，且|A1P|＝12．…………………12分20．解：(理)(1)设直线l的方程为：2ykx(0)k，联立方程可得224ykxyx得:22(44)40kxkx①设11(,)Axy，22(,)Bxy，2(,0)Ck，则12244kxxk，1224xxk②2221224(1)||||1|0|1|0|kMAMBkxkxk，而2222224(1)||(1|0|)kMCkkk，∴2||||||0MCMAMB，即||MA，||MC、||MB成等比数列…………7分(2)由MAAC，MBBC得，11112(,2)(,)xyxyk，22222(,2)(,)xyxyk即得：112kxkx，222kxkx，则212122121222()2()4kxxkxxkxxkxx由(1)中②代入得1，故为定值且定值为1…………13分21．解：（1）当3ab时，32()(333)xfxxxxe，故322'()(333)(363)xxfxxxxexxe3(9)xexx(3)(3)xxxxe当3x或03'()0;xfx时，当303'()0.xxfx或时，从而()(,3),(0,3)303fx在单调增加，在（，），（，）单调减少……（7分）(2)3223'()(3)(36)[(6)].xxxfxxxaxbexxaeexaxba第7页共7页由条件得：3'(2)0,22(6)0,4,fababa即故从而3'()[(6)42].xfxexaxa因为'()'()0,ff所以3(6)42(2)()()xaxaxxx2(2)(()).xxx将右边展开，与左边比较系数得，2,2.a故2()4124.a又(2)(2)0,2()40.即由此可得6.a于是6.……（14分）