2013年高考理科数学安徽卷word解析版

2013安徽理科数学第1页2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(安徽卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013安徽，理1)设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数．若·i+2=2zzz，则z＝()．A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i2．(2013安徽，理2)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()．A．16B．2524C．34D．11123．(2013安徽，理3)在下列命题中，不是．．公理的是()．A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线4．(2013安徽，理4)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．(2013安徽，理5)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是()．A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数6．(2013安徽，理6)已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为112xxx或，则f(10x)＞0的解集为()．A．{x|x＜－1或x＞－lg2}B．{x|－1＜x＜－lg2}C．{x|x＞－lg2}D．{x|x＜－lg2}7．(2013安徽，理7)在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()．A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2B．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝12013安徽理科数学第2页8．(2013安徽，理8)函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得1212===nnfxfxfxxxx，则n的取值范围是()．A．{3,4}B．{2,3,4}C．{3,4,5}D．{2,3}9．(2013安徽，理9)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足=2OAOBOAOB，则点集=+,1,POPOAOBR所表示的区域的面积是()．A．22B．23C．42D．4310．(2013安徽，理10)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是()．A．3B．4C．5D．6第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．(2013安徽，理11)若83axx的展开式中x4的系数为7，则实数a＝__________.12．(2013安徽，理12)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝__________.13．(2013安徽，理13)已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为__________．14．(2013安徽，理14)如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等．设OAn＝an.若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是__________．15．(2013安徽，理15)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当0＜CQ＜12时，S为四边形②当CQ＝12时，S为等腰梯形③当CQ＝34时，S与C1D1的交点R满足C1R＝13④当34＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ＝1时，S的面积为62三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．2013安徽理科数学第3页16．(2013安徽，理16)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4cosωx·πsin4x(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间π0,2上的单调性．17．(2013安徽，理17)(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a＞0，区间I＝{x|f(x)＞0}．(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k∈(0,1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．2013安徽理科数学第4页18．(2013安徽，理18)(本小题满分12分)设椭圆E：2222=11xyaa的焦点在x轴上．(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．19．(2013安徽，理19)(本小题满分13分)如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°.(1)证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；(2)求cos∠COD.2013安徽理科数学第5页20．(2013安徽，理20)(本小题满分13分)设函数fn(x)＝23222123nxxxxn(x∈R，n∈N*)．证明：(1)对每个n∈N*，存在唯一的xn∈2,13，满足fn(xn)＝0；(2)对任意p∈N*，由(1)中xn构成的数列{xn}满足0＜xn－xn＋p＜1n.21．(2013安徽，理21)(本小题满分13分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；(2)求使P(X＝m)取得最大值的整数m.2013安徽理科数学第6页2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(安徽卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：A解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由·i+2=2zzz得(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，即(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，所以2a＝2，a2＋b2＝2b，所以a＝1，b＝1，即z＝a＋bi＝1＋i.2．答案：D解析：开始2＜8，110+22s，n＝2＋2＝4；返回，4＜8，113244s，n＝4＋2＝6；返回，6＜8，31114612s，n＝6＋2＝8；返回，8＜8不成立，输出1112s.3．答案：A解析：由立体几何基本知识知，B选项为公理2，C选项为公理1，D选项为公理3，A选项不是公理．4．答案：C解析：函数f(x)的图象有以下三种情形：a＝0a＞0a＜0由图象可知f(x)在区间(0，＋∞)内单调递增时，a≤0，故选C.5．答案：C解析：五名男生成绩的平均数为15(86＋94＋88＋92＋90)＝90，五名女生成绩的平均数为15(88＋93＋93＋88＋93)＝91，五名男生成绩的方差为21s＝22222869094908890929090905＝8，五名女生成绩的方差为22s＝22288913939165，所以2212ss，故选C.2013安徽理科数学第7页6．答案：D解析：由题意知－1＜10x＜12，所以x＜1lg2＝－lg2，故选D.7．答案：B解析：由题意可知，圆ρ＝2cosθ可化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1.所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2，故选B.8．答案：B解析：1212===nnfxfxfxxxx可化为1212000===000nnfxfxfxxxx，故上式可理解为y＝f(x)图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n可看成过原点的直线与y＝f(x)的交点个数．如图所示，由数形结合知识可得，①为n＝2，②为n＝3，③为n＝4.9．答案：D解析：以OA，OB为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A，B两点关于x轴对称，由已知|OA|＝|OB|＝OA·OB＝2，可得出∠AOB＝60°，点A(3，1)，点B(3，－1)，点D23，0)．现设P(x，y)，则由OP＝λOA＋μOB得(x，y)＝λ(3，1)＋μ(3，－1)，即3,.xy由于|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R，可得33,11,xy画出动点P(x，y)满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为232=43.2013安徽理科数学第8页10．答案：A解析：由f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0得，x＝x1或x＝x2，即3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的根为f(x)＝x1或f(x)＝x2的解．如图所示，x1＜x2x2＜x1由图象可知f(x)＝x1有2个解，f(x)＝x2有1个解，因此3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为3.第Ⅱ卷(非选择题共100分)考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．答案：12解析：∵83axx的通项为1838C()rrrrxax883388=CCrrrrrrrraxxax，∴8－r－3r＝4，解得r＝3.∴338C7a，得12a.12．答案：2π3解析：∵3sinA＝5sinB，∴3a＝5b.①又∵b＋c＝2a，②∴由①②可得，53ab，73cb，∴22222257133cos52223bbbbacCabbb，∴2π3C.13．答案：[1，＋∞)解析：如图，设C(x0，20x)(20x≠a)，A(a，a)，B(a，a)，则CA＝(0ax，20ax)，CB＝(0ax，20ax)．∵CA⊥CB，∴CA·CB＝0，2013安徽理科数学第9页即－(a－20x)＋(a－20x)2＝0，(a－20x)(－1＋a－20x)＝0，∴20x＝a－1≥0，∴a≥1.14．答案：32nan解析：设11OABS＝S，∵a1＝1，a2＝2，OAn＝an，∴OA1＝1，OA2＝2.又易知△OA1B1∽△OA2B2，∴1122221221124OABOABSOASOA.∴1122ABBAS梯形＝311OABS＝3S.∵所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等，且△OA1B1∽△OAnBn，∴11113132nnOABnOABSOASOASSnSn