2012年高一数学暑假补充练习二数列

数列（1）一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．1．下列有关数列的表述：①数列的通项公式是唯一的；②数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是相同的数列；③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；④数列中的数是按一定次序排列的．其中说法正确的是________．2．如果数列{an}(an∈R)对任意m，n∈N*均满足am＋n＝aman，且a3＝8，那么a10＝________．3．若a1＝3，an＝an－1＋2an－1(n≥2)，bn＝1an，则数列{bn}的第3项是________．4．根据下面5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第n个图中有________个点．…5．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋2，若对于n∈N*，都有an＋1＞an成立，则实数k的取值范围是________．6．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于________．7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是________．[来源:学。科。网]8．等比数列a＋log23，a＋log43，a＋log163的公比是________．9．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{1an}的前5项和为________．10．已知数列{an}为等差数列，若a5a6－1，则数列{|an|}的最小项是第________项．11．等比数列{an}的公比q0，已知a2＝1，am＋2＋am＋1＝6am，则{an}的前4项和是________．12．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0，则d的取值范围是________．13．一直角三角形三边的长成等比数列，则较小锐角的正弦值为________．14．已知{an}是递减等比数列，a2＝2，a1＋a3＝5，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1＋an1－an(n∈N*)，求a1a2a3…a2011a2012的值．16．(本小题满分14分)已知等差数列{an}满足a4＝6，a6＝10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设等比数列{bn}的各项均为正数，其前n项和Tn，若b3＝a3，T2＝3，求Tn.[来源:学+科+网Z+X+X+K]17．(本小题满分14分)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－13，an＋2－2an＋1＋an＝2n－6.(1)设bn＝an＋1－an，求数列{bn}的通项公式；(2)求n为何值时，an最小．18．(本小题满分14分)在等差数列{an}中，a16＋a17＋a18＝a9＝－18，其前n项的和为Sn，(1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值；(2)求Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|．[来源:Zxxk.Com]19．(本小题满分16分)已知数列{an}中，a1＝2，a2＝4，an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)．(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；(2)记bn＝2an－1an(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn．[来源:Z+xx+k.Com]20．(本小题满分16分)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*．(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．[来源:学.科.网Z.X.X.K]二参考答案一、填空题：1．答案：③④解析：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，但一个数列可以没有通项公式，也可以有几个通项公式，如：数列1，-1,1，-1,1，-1，…的通项公式可以是an=(-1)n+1，也可以是an=cos(n-1)，故①错；由数列的概念知数列0,1,0，-1与数列-1,0,1,0是不同的数列，故②错；易知③④是正确的．2．答案：1024解析：由题意知，a2=a21，a3=a1a2=a31⇒a1=2，a2=4，以此类推可得a10=210=1024.3.答案：33139解析：∵a1=3，an=an-1+2an-1(n≥2)，∴a2=a1+2a1=3+23=113，a3=a2+2a2=113+2113=113+611=13933.∵bn=1an，∴b3=1a3=33139.4.答案：n2-n+1解析：观察图中5个图形点的个数分别为1,12+1,23+1，34+1,45+1，故第n个图中点的个数为(n-1)n+1=n2-n+1.5.答案：k＞－3解析：由an＋1＞an得(n＋1)2＋k(n＋1)＋2＞n2＋kn＋2，∴k＞－(2n＋1)，∴k＞－3.6.答案：28解析：∵a3＋a4＋a5＝12，∴a4＝4.∴a1＋a2＋…＋a7＝7a1＋a72＝7a4＝28.7.答案：2解析：∵Sn＝na1＋an2，∴Snn＝a1＋an2，由S33－S22＝1得，a32－a22＝1，即a3－a2＝2，∴数列{an}的公差为2.8.答案：12解析：由已知得：(a+log43)2=(a+log23)(a+log163)∴2alog43+(log43)2=(log23+log163)a+log23log163，[来源:Zxxk.com]∴2alog43+12log232=(log23+14log23)a+14(log23)2，∴2a12log23=54log23a，∴a=0，∴公比为a+log43a+log23=log43log23=12.9.答案：3116解析：易知公比q≠1，由9S3＝S6得9a11－q31－q＝a11－q61－q，解得q＝2，∴{1an}是首项为1，公比为12的等比数列，∴其前5项和为1×[1－125]1－12＝3116.10.答案：6解析：设等差数列{an}的公差为d，则由已知结合通项公式得a1+4da1+5d-1，即(a1+5d)(2a1+9d)0，所以(a1+5d)a1+92d0；分公差d的正负讨论，得：当d0时，a1+5d0，a1+92d0，此时a5=a1+4da1+92d0，a6=a1+5d0，故数列{|an|}的最小项只能是|a5|或|a6|，而|a6|-|a5|=(a1+5d)-[-(a1+4d)]=2a1+9d0，故所求最小项是|a6|，即第6项；当d0时，同样讨论可得．11.答案：152解析：由已知条件am＋2＋am＋1＝6am可得a2qm＋a2qm－1＝6a2qm－2，即得q2＋q－6＝0，解得q＝2或q＝－3(舍去)，则数列{an}的前四项的和为12＋1＋2＋4＝152.12.答案：(－∞，－22]∪[22，＋∞)解析：∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a21＋9da1＋10d2＋1＝0.故(4a1＋9d)2＝d2－8，∴d2≥8，则d的取值范围是(－∞，－22]∪[22，＋∞)．13.答案：5－12解析：设三边a，b，c成等比数列，且abc，则b2＝ac，且c2＝a2＋b2，∴ac＝c2－a2，即ac＝1－a2c2.∵sinA＝ac，∴sin2A＋sinA－1＝0，解得sinA＝－1＋52.14．答案：8，323解析：∵a2＝2，a1＋a3＝5，∴2q＋2q＝5，∵{an}递减，∴q＝12，a1＝4，∵数列{anan＋1}是以a1a2为首项，q2为公比的等比数列，∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝a1a21－q2n1－q2＝81－14n1－14＝3231－14n，而1－14n是递增数列，34≤1－14n1，∴8≤3231－14n323.二、解答题：15．解：∵a1＝2，an＋1＝1＋an1－an，∴a2＝－3，a3＝－12，a4＝13，a5＝2，∴数列{an}的周期为4，且a1a2a3a4＝1，∴a1a2a3a4…a2011a2012＝1.16．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，∵a4＝6，a6＝10，∴a1＋3d＝6，a1＋5d＝10，解得a1=0，d=2，∴数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝2n－2.(2)设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q(q0)．∵an＝2n－2，∴a3＝4，b1q2＝4，b11＋q＝3，解得q＝2，b1＝1或q＝－23，b1＝9(舍去)∴Tn＝b11－qn1－q＝11－2n1－2＝2n－1.17．解：(1)由an＋2－2an＋1＋an＝2n－6得：(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2n－6，∴bn＋1－bn＝2n－6.当n≥2时，bn－bn－1＝2(n－1)－6，bn－1－bn－2＝2(n－2)－6，…b3－b2＝2×2－6，b2－b1＝2×1－6，累加，得bn－b1＝2(1＋2＋…＋n－1)－6(n－1)＝n(n－1)－6n＋6＝n2－7n＋6.又∵b1＝a2－a1＝－14，∴bn＝n2－7n－8(n≥2)，当n＝1时，b1也适合此式，故bn＝n2－7n－8(n∈N*)．(2)由bn＝(n－8)(n＋1)得，an＋1－an＝(n－8)(n＋1)，∴当n8时，an＋1an；当n＝8时，a9＝a8；当n8时，an＋1an.∴当n＝8或n＝9时，an的值最小．18．解：(1)a16＋a17＋a18＝a9＝－18，∴a17＝－6，又a9＝－18，∴d＝a17－a917－9＝32.首项a1＝a9－8d＝－30，∴an＝32n－632.设前n项和为Sn最小，则an≤0an＋1≥0，即3n2－632≤032n＋1－632≥0，∴n＝20或n＝21.这表明当n＝20或21时，Sn取最小值，最小值为S20＝S21＝－315.(2)由an＝32n－632≤0⇒n≤21，∴当n≤21时，Tn＝－Sn＝34(41n－n2)，当n＞21时，Tn＝－a1－a2－…－a21＋a22＋…＋an＝Sn－2S21＝34(n2－41n)＋630.19．解：(1)∵an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)，∴(an＋1－an)＝2(an－an－1)(n≥2，n∈N*)．∵a1＝2，a2＝4，∴a2－a1＝2≠0，∴an－an－1≠0(n≥2，n∈N*)．故数列{an＋1－an}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an＋1－an＝(a2－a1)2n－1＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋2n－3＋…＋21＋2＝2×1－2n－11－2＋2＝2n(n≥2，n∈N*)．又a1＝2满足上式，∴an＝2n(n∈N*)．(2)由(1)知bn＝2an－1an＝21－1an＝21－12n＝2－12n－1(n∈N*)，∴Sn＝2n－1＋121＋122＋…＋12n－1＝2n－1－12n1－12＝2n－21－12n＝2n－2＋12n－1．20．解：(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，∴Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn.∴数列{bn}是首项b1＝a－3，公比为2的等比数列．∴所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*①(2)由①知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1