2013数学高考完整版笔记(吐血整理)

集合与简易逻辑1集合的概念及运算定义补充：真子集：如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。包含与真包含：B中的元素都属于A，则称A包含B.B中的元素都属于A且A中至少有一个元素不属于B，则称A真包含B.集合知识网络不等式知识网络集合定义特征一组对象的全体形成一个集合确定性、互异性、无序性表示法分类列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}、图示法有限集、无限集数集关系自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N*、空集φ属于∈、不属于、包含于、真包含于、子集⊆、真子集运算性质交集A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；并集A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；补集ACU＝{x|xA且x∈U}，U为全集AA；φA；若AB，BC，则AC；A∩A＝A∪A＝A；A∩φ＝φ；A∪φ＝A；A∩B＝AA∪B＝BAB；A∩CUA＝φ；A∪CUA＝I；CU(CUA)＝A；CU(AB)＝CUA∩CUB方法韦恩示意图数轴分析注意：①区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；（属于与不属于的关系）②AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ③如果{a²,a,0}，那么a≠0，且a≠1（元素的唯一性）④φ是任何非空集合的真子集，和任何集合的子集。φ与{φ}是从属关系⑤{0}是以0为元素的集合，不是空集。不等式绝对值不等式一元二次不等式|x|a(a0)xa或x－a；（去绝对值）|x|a(a0)－axa（去绝对值）形式：ax2＋bx＋c0或ax2＋bx＋c0（a≠0）；解法：方程的根→函数草图→观察得解注意：①含参数的不等式ax2＋bx＋c0恒成立问题含参不等式ax2＋bx＋c0的解集是R；方程：分a＝0(验证bx＋c0是否恒成立)、a≠0（a0且△0）两种情况不等式：分a=0，a＞0，a＜0三种情况②集合A是空集，△＜0集合A只有一个元素，△=0集合A非空集，△≥02四种命题及充要条件一．四种命题：1．原命题：若p则q逆命题：若┑P则┑q，即交换原命题的条件和结论；否命题：若q则p，即同时否定原命题的条件和结论；逆否命题：若┑P则┑q，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定．2．四个命题的关系：⑴原命题为真，它的逆命题不一定为真；⑵原命题为真，它的否命题不一定为真；⑶原命题为真，它的逆否命题一定为真．互逆互互互为互否逆逆否否否否否⑷两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。原命题与逆否命题；逆命题与否命题同真同假⑸两个命题互为逆命题或否命题，他们的真假性没有关系⑹原命题和逆否命题为等价命题．如果原命题成立，逆否命题成立．逆命题和否命题为等价命题，如果逆命题成立，否命题成立．⑺命题的否定形式与原命题互异二．充分条件与必要条件1．“若p则q”是真命题，记做pq，“若p则q”为假命题，记做，2．若pq，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件若pq，且pq，则称p是q的充要条件；3．若p的充分条件是q，则qp；若p的必要条件是q，则pq．注意：①注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念。命题p的否定为“非p”，记作p，一般只是否定命题p的结论，否命题是对原命题“若p则q”既否定它的条件，又否它的结论。原命题若p则q逆命题若q则p否命题若﹃ｐ则﹃q逆否命题若﹃ｑ则﹃ｐ3逻辑连结词、全称量词与存在量词一．全称量词与存在量词含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：,()xMpx，它的否定p：,()xMpx全称命题的否定是存在性命题。含有一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论：存在性命题p：,()xMpx，它的否定：p：,()xMpx存在性命题的否定是全称命题二．逻辑联结词：1．命题是可以判断真假的语句的语句，其中判断为正确的称为真命题，判断为错误的为假命题．如果不易判断命题真假，可由它的逆否命题判断。2．逻辑联结词有“或”、“且”、“非”．3．不含有逻辑联结词的命题，叫做简单命题，由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题．4．真值表：pq非pp且qP或q真真假真真真假假真假真真假真假假假假5．关键词的否定关键词大（小）于是有全部任何，所有的至少有一个至多有一个对任意xA使()px真否定不大（小）于不是无不全，不都某些，有几个一个也没有至少有两个存在xA使()px假关键词p且q且=都是至多有N个任意N个否定﹃p或﹃q或≠不都是至少有（N+1）个存在N个函数1函数及其表示一．函数的概念1．映射：设A、B两个非空集合，如果按照某中对应法则f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A到集合B的映射．2．函数：在某种变化过程中的两个变量x、y，对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，则称y是x的函数，记做()yfx，其中x称为自变量，x变化的范围叫做函数的定义域，和x对应的y的值叫做函数值，函数值y的变化范围叫做函数的值域．3．函数三要素：①定义域②值域③对应关系二．函数的表示：①解析法②图像法③列表法解析式：（1）根据对应法则的意义求函数的解析式；例如：已知xxxf2)1(，求函数)(xf的解析式．（2）已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；例如：已知()fx是一次函数，且[()]43ffxx，函数)(xf的解析式．（3）注明定义域（分段函数）三．函数的定义域（树立定义域优先的思想）（1）根据给出函数的解析式求定义域：①整式：xR②分式：分母不等于0③偶次方根：被开方数大于或等于0④含0次幂、负指数幂：底数不等于0⑤对数：底数大于0且不等于1，真数大于0⑥三角函数中的y=tanx：x≠kπ+k/2(k∈Z)（2）根据对应法则的意义求函数的定义域：①已知函数f(x)的定义域为D，求函数f[g(x)]的定义域，只需g(x)∈D例：()yfx定义域为]5,2[，求(32)yfx定义域；含有绝对值的不等式——分段求解|f(x)|+g(x)＞0f(x)＞0或f(x)＜0f(x)+g(x)＞0-f(x)+g(x)＞0②已知函数f[g(x)]的定义域，求函数f(x)的定义域，只需x∈{y|y=g(x)}，即g(x)的值域例：已知(32)yfx定义域为]5,2[，求()yfx定义域；（3）实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域．六．难点（1）没有告诉定义域同对应法则y=f(x)中括号内范围相同（同对立法则）（2）相同函数①定义域相同②对应法则相同恒等变换2函数的基本性质一．函数的单调性1．单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f（x）的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x1x2时,都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f（x）在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是自左向右看图象是注意：判断单调性①定义法②两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增函数③奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上具有相反的单调性④导数2．单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做f（x）的单调区间.3．复合函数的单调性：对于复合函数[()]yfgx，设()ugx，则()yfu，可根据它们的单调性确定复合函数[()]yfgx，具体判断如下表()yfu增增减减()ugx增减增减[()]yfgx增减减增若(),()fxgx均为某区间上的增（减）函数，则()()fxgx在这个区间上也为增（减）函数若()fx为增（减）函数，则()fx为减（增）函数含有绝对值的不等式——分段求解|f(x)|+g(x)＞0f(x)＞0或f(x)＜0f(x)+g(x)＞0-f(x)+g(x)＞0含有绝对值的不等式——分段求解|f(x)|+g(x)＞0f(x)＞0或f(x)＜0若()fx与()gx的单调性相同，则[()]yfgx是增函数；若()fx与()gx的单调性不同，则[()]yfgx是减函数。奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。4．判断单调性的常用方法1．定义法2．两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个增（减）函数的差仍为增（减）函数。3．奇函数在对称区间上具有相同单调性，偶函数在对称区间上具有相反的单调性。4．利用导函数二．函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①于任意x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I,使得f(xo)=M②于任意x∈I，都有f(x)≥M②在x0∈I,使得f(xo)＝M结论M为最大值M为最小值三．函数的奇偶性1．判断函数()fx奇偶性的步骤：①判断函数()fx的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果不对称；②验证()fx与()fx的关系，若满足()()fxfx，则为奇函数，若满足()()fxfx，则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数．2．性质：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．3．已知()fx、()gx分别是定义在区间M、N()MN上的奇（偶）函数，分别根据条件判断下列函数的奇偶性．()fx()gx()fx1()fx()()fxgx()()fxgx()()fxgx奇奇奇奇奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶偶偶偶偶4．如果一个奇函数在0x处有定义，则(0)0f，如果一个函数()yfx既是奇函数又是偶函数，则()0fx（反之不成立）。奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。5．一次函数ykxb(0)k是奇函数的充要条件是0b；二次函数2yaxbxc(0)a是偶函数的充要条件是0b若a≠0，b≠0时，则非奇非偶；若b≠0，a=c=0时，该正比例函数是奇函数4、两个函数()yfu和()ugx复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。5、若函数()fx的定义域关于原点对称，则()fx可以表示为11()[()()][()()]22fxfxfxfxfx，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。6．判断奇偶性的常用方法①函数的定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数②若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数进行适当的化简，以便于判断③利用定义域进行等价变形判断④分段函数应分段讨论，要注意根据x的范围取得相应的函数表达式或者利用图像判断3二次函数与幂函数一．定义一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c（a≠0），则称y为x的二次函数。二．二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0），此时抛物线的顶点坐标为P（h，k），适用于顶点坐标和最大最小值交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）仅用于函数图像与x轴有两个交点时，x1、x2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A（x1，0）和B（x2，0）），对称轴所在的直线为2xx21x注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：a2bh，a4b-4ac2k；21xx=a24ac-bb-2；a2bxx21三．二次函数的图像从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。四．抛物线的性质1．抛物线是轴对称图形，对称轴为直线a2bx，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2．抛物