2012年高考必备三角函数板块复习,知识点,典型例题及解析。家教必备。

-1-三角函数重点知识回顾1、终边相同的角的表示方法：凡是与终边α相同的角，都可以表示成k·3600+α的形式，特例，终边在x轴上的角集合{α|α=k·1800，k∈Z}，终边在y轴上的角集合{α|α=k·1800+900，k∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k·900，k∈Z}。在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；⑴角度制与弧度制的互化：弧度180，1801弧度，1弧度)180('1857⑵弧长公式：Rl；扇形面积公式：RlRS21212。2、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式：（1）三角函数定义：角中边上任意一点P为),(yx，设rOP||则：,cos,sinrxryxytan（2）三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（3）特殊角的三角函数值α06432232sinα021222310-10cosα12322210-101tanα03313不存在0不存在0（3）同角三角函数的基本关系：xxxxxtancossin;1cossin22（4）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）:sin()＝sinα,cos()＝－cosα,tan()＝－tanαsin()＝－sinα,cos()＝－cosα,tan()＝tanαsin()＝－sinα,cos()＝cosα,tan()＝－tanαsin(2)＝－sinα,cos(2)＝cosα,tan(2)＝－tanαsin(2k)＝sinα,cos(2k)＝cosα,tan(2k)＝tanα，()kZ-2-sin(2)＝cosα,cos(2)＝sinαsin(2)＝cosα,cos(2)＝-sinα3、两角和与差的三角函数（1）和（差）角公式①;sincoscossin)sin(②;sinsincoscos)cos(③tantan1tantan)tan(（2）二倍角公式二倍角公式：①cossin22sin；②2222sin211cos2sincos2cos；③2tan1tan22tan（3）经常使用的公式①升（降）幂公式：21cos2sin2、21cos2cos2、1sincossin22；②辅助角公式：22sincossin()abab（由,ab具体的值确定）；③正切公式的变形：tantantan()(1tantan).4、三角函数的图象与性质（一）列表综合三个三角函数sinyx，cosyx，tanyx的图象与性质，并挖掘：⑴最值的情况；⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求sin()yAx的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况；⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；sinyx的对称轴是2xk()kZ，对称中心是(,0)k()kZ；cosyx的对称轴是xk()kZ，对称中心是(,0)2k()kZtanyx的对称中心是(,0)()2kkZ-3-注意加了绝对值后的情况变化.⑷写单调区间注意0.（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()yAx的简图，并能由图象写出解析式．⑴“五点法”作图的列表方式；⑵求解析式sin()yAx时处相的确定方法：代（最高、低）点法、公式1x.（三）正弦型函数sin()yAx的图象变换方法如下：先平移后伸缩sinyx的图象向左(0)或向右(0)平移个单位长度得sin()yx的图象()横坐标伸长(01)或缩短(1)1到原来的纵坐标不变得sin()yx的图象()AAA纵坐标伸长(1)或缩短(01)为原来的倍横坐标不变得sin()yAx的图象(0)(0)kkk向上或向下平移个单位长度得sin()yAxk的图象．先伸缩后平移sinyx的图象(1)(01)AAA纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sinyAx的图象(01)(1)1()横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()yAx的图象(0)(0)向左或向右平移个单位得sin()yAxx的图象(0)(0)kkk向上或向下平移个单位长度得sin()yAxk的图象．5、解三角形Ⅰ．正、余弦定理⑴正弦定理RCcBbAa2sinsinsin（R2是ABC外接圆直径）注：①CBAcbasin:sin:sin::；②CRcBRbARasin2,sin2,sin2；③CBAcbaCcBbAasinsinsinsinsinsin。-4-⑵余弦定理：Abccbacos2222等三个；注：bcacbA2cos222等三个。Ⅱ。几个公式:⑴三角形面积公式：))(21(,))()((sin2121cbapcpbpappCabahSABC；⑵内切圆半径r=cbaSABC2；外接圆直径2R=;sinsinsinCcBbAa⑶在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：⊿ABC中，sinsinABABⅢ．已知Aba,,时三角形解的个数的判定：其中h=bsinA,⑴A为锐角时：①ah时，无解；②a=h时，一解（直角）；③hab时，两解（一锐角，一钝角）；④ab时，一解（一锐角）。⑵A为直角或钝角时：①ab时，无解；②ab时，一解（锐角）。三、考点剖析考点一：三角函数的概念【内容解读】三角函数的概念包括任意角的概念和弧度制，任意三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能进行弧度与角度的互化，会由角的终边所经过点的坐标求该角的三角函数值。在学习中要正确区分象限角及它们的表示方法，终边相同角的表示方法，由三角函数的定义，确定终边在各个象限的三角函数的符号。在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下计算更为方便、简洁。【命题规律】在高考中，主要考查象限角，终边相同的角，三角函数的定义，一般以选择题和填空题为主。例1、若角α的终边经过点P(1,-2),则tan2α的值为.解：222tan4tan2,tan2.11tan3点评：一个角的终边经过某一点，在平面直角坐标系中画出图形，用三角函数的定义来求解，或者不画图形直接套用公式求解都可以。考点二：同角三角函数的关系【内容解读】同角三角函数的关系有平方关系和商数关系，用同角三角函数定义反复证明强化记忆，在解题时要注意22sincos1，这是一个隐含条件，在解题时要经常能想到它。利用同角的三角函数关系求解时，注意角所在象限，看是否需要分类讨论。【命题规律】在高考中，同角的三角函数的关系，一般以选择题和填空题为主，结合坐标系分类讨论是关键。例２、若cos2sin5,则tan=()-5-（A）21（B）2（C）21（D）2解：由cos2sin5可得：由cos52sin，又由22sincos1，可得：2sin＋（52sin）2＝1可得sin＝－552，cos52sin＝－55，所以，tan＝cossin＝2。点评：对于给出正弦与余弦的关系式的试题，要能想到隐含条件：22sincos1，与它联系成方程组，解方程组来求解。例3、是第四象限角，5tan12，则sin（）A．15B．15C．513D．513解：由5tan12，所以，有1cossin125cossin22，是第四象限角，解得：sin513点评：由正切值求正弦值或余弦值，用到同角三角函数公式：cossintan，同样要能想到隐含条件：22sincos1。考点三：诱导公式【内容解读】诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sinα与cosα对偶，“奇”、“偶”是对诱导公式中2k+α的整数k来讲的，象限指2k+α中，将α看作锐角时，2k+α所在象限，如将cos(23+α)写成cos（23+α），因为3是奇数，则“cos”变为对偶函数-6-符号“sin”，又23+α看作第四象限角，cos(23+α)为“+”，所以有cos(23+α)=sinα。【命题规律】诱导公式的考查，一般是填空题或选择题，有时会计算特殊角的三角函数值，也有些大题用到诱导公式。例4、sin330等于（）A．32B．12C．12D．32解：sin330sin(36030)＝1sin302点评：本题是对诱导公式和特殊角三角函数值的考查，熟练掌握诱导公式即可。答案：725例5、（2008浙江文）若2cos,53)2sin(则.解：由3sin()25可知，3cos5；而2237cos22cos12()1525。点评：本小题主要考查诱导公式及二倍角公式的应用，难度不算大，属基础题，熟练掌握公式就能求解。考点四：三角函数的图象和性质【内容解读】理解正、余弦函数在]0，2π]，正切函数在（-2，2）的性质，如单调性、最大值与最小值、周期性，图象与x轴的交点，会用五点法画函数sin()yAxxR，的图象，并理解它的性质：（１）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；（２）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；（３）函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的14个周期。注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移。【命题规律】主要考查三角函数的周期性、单调性、有界性、图象的平移等，以选择题、解答题为主，难度以容易题、中档题为主。例6、设5sin7a，2cos7b，2tan7c，则（）-7-A．abcB．acbC．bcaD．bac解：2sin7a，因为2472，所以220cossin1tan7772，选D．点评：掌握正弦函数与余弦函数在［0，4］，［4，2］的大小的比较，画出它们的图象，从图象上能比较它们的大小，另外正余弦函数的值域：［0,1］，也要掌握。例7、函数ππlncos22yxx的图象是（）解：lncos()22yxx是偶函数，可排除B、D，由cosx的值域可以确定.因此本题应选A.点评：本小题主要考查复合函数的图像识别，充分掌握偶函数的性质，余弦函数的图象及性质，另外，排除法，在复习时应引起重视，解选择题时，经常采用排除法。例8、把函数sin()yxxR的图象上所有的点向左平行移动3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A．sin23yxxR，B．sin26xyxR，C．sin23yxxR，D．sin23yxxR，解：y=sinx3向左平移个单位sin()3yx12横坐标缩短到原来的倍sin(2)3yx，故选（C）。点评