2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第9章(A)检测题

第九章(A)直线、平面、简单几何体名师检测题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．过空间一点与已知平面垂直的直线有()A．0条B．1条C．0条或1条D．无数条解析：根据线面垂直的定义及其性质定理可知过空间一点与已知平面垂直的直线只有1条，故选B.答案：B2．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由面面垂直的判定定理可知必要性成立，而当两平面α、β垂直时，α内的直线m只有在垂直于两平面的交线时才垂直于另一个平面β，∴充分性不成立．答案：B3．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是()A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直解析：因为只有过m及m在平面α内的射影的平面是过m且垂直于平面α的平面，因此B正确，选择B.答案：B4．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，则下列命题中，其逆否命题不成立的是()A．当m⊥α，n⊥β时，若m∥n，则α∥βB．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βC．当α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，若n⊥m，则n⊥αD．当m⊂α，且n⊄α时，若n∥α，则m∥n解析：根据原命题与逆否命题的真假性相同，只需判断原命题的真假即可．由面面垂直、平行的性质定理或判定定理等很容易判断出A、B、C都是正确的，而在答案D中，m与n显然可以异面．故选D.答案：D5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱AB的中点，则异面直线DM与D1B所成角的余弦值为()A.156B.155C.153D.1510解析：取CD的中点N，连结NB、ND1，则易知NB∥DM，∴∠NBD1(或其补角)就是异面直线DM与D1B所成的角．不妨设正方体的棱长为1，则D1N＝NB＝12＋122＝52.又D1B＝3，故在△NBD1中，cos∠NBD1＝NB2＋D1B2－D1N22·NB·D1B＝155.故选B.答案：B6．如果对于空间任意n(n≥2)条直线总存在一个平面α，使得这n条直线与平面α所成的角均相等，那么这样的n()A．最大值为3B．最大值为4C．最大值为5D．不存在最大值解析：若n＝4，显然此时对于空间的任意四条直线不都存在这样的平面α，因此结合各选项知B、C不正确；对于空间任意3条直线，总存在一个平面α，使得这n条直线与平面α所成的角均相等，选A.答案：A7.如图，在棱长均为2的正四棱锥P－ABCD中，点E为PC的中点，则下列命题正确的是()A．BE∥平面PAD，且直线BE到平面PAD的距离为3B．BE∥平面PAD，且直线BE到平面PAD的距离为263C．BE不平行于平面PAD，且BE与平面PAD所成的角大于30°D．BE不平行于平面PAD，且BE与平面PAD所成的角小于30°解析：取PD的中点F，连结EF，AF，则有EF∥CD，且EF＝12CD，又AB∥CD，AB＝CD，因此有EF∥AB，EF＝12AB，四边形ABEF为梯形，直线BE与AF必相交，直线BE与平面PAD不平行．注意到BE与BC的夹角为30°，因此直线BE与AD的夹角为30°，由最小角原理可知，直线BE与平面PAD所成的角小于30°，选D.答案：D8．已知三棱锥P－ABC中，PA、PB、PC两两垂直，PA＝PB＝2PC＝2a，且三棱锥外接球的表面积为S＝9π，则实数a的值为()A．1B．2C.2D.12解析：如图，将三棱锥P—ABC嵌入长方体中，则长方体的体对角线BD为三棱锥外接球的直径，由此得三棱锥外接球的表面积为S＝4πBD22＝π(PB2＋PD2)＝π[(2a)2＋(5a)2]＝9π.∴a＝1，故选A.答案：A9.如图，∠C＝90°，AC＝BC，M、N分别为BC和AB的中点，沿直线MN将△BMN折起，使二面角B′—MN—B的大小为60°，则斜线B′A与平面ABC所成角的正切值为()A.25B.35C.45D.35解析：设AC＝BC＝2a，由已知得MN⊥CM，B′M⊥MN，MN⊥平面B′CM，∠B′MB＝60°，B′M＝MN＝a.作B′E⊥CB于点E，连结AE，则有MN⊥B′E，B′E⊥CE，B′E⊥平面ABC，∠B′AE是直线B′A与平面ABC所成的角．在Rt△B′AE中，B′E＝B′Msin60°＝32a，EM＝B′Mcos60°＝a2，AE＝AC2＋CE2＝2a2＋a＋a22＝5a2，所以tan∠B′AE＝B′EAE＝35，选B.答案：B10.如图，在棱长为4的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是AD、A′D′的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面A′B′C′D′上运动，则线段MN的中点P的轨迹(曲面)与二面角A－A′D′－B′所围成的几何体的体积为()A.4π3B.2π3C.π3D.π6解析：依题意可知|FP|＝12|MN|＝1，因此点P的轨迹是以点F为球心、1为半径的球面，于是所求的体积是14×43π×13＝13π，选C.答案：C11．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的高是()A.12B.32C．1D.33解析：由题知三棱锥的高为球的半径，故选C.答案：C12．球O与锐二面角α－l－β的两半平面相切，两切点间的距离为3，O点到交线l的距离为2，则球O的表面积为()A.4π3B．4πC．12πD．36π解析：设球O与平面α、β分别相切于点P、Q，过点O作OR⊥l于点R，连结PR、QR、PQ，设PQ与OR相交于点S，其抽象图如图所示，则有OP⊥PR、OQ⊥QR，故O、P、R、Q四点共圆，此圆的直径为2，由正弦定理得PQsin∠PRQ＝2，∴sin∠PRQ＝PQ2＝32.又二面角α－l－β为锐二面角，∴∠PRQ＝60°，∴∠PRO＝30°，∴OP＝1，即球的半径为1，∴球O的表面积S＝4πR2＝4π，故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．)13．下列命题：①如果一个平面内有一条直线与另一个平面内的一条直线平行，那么这两个平面平行；②如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③平行于同一平面的两个不同平面相互平行；④垂直于同一直线的两个不同平面相互平行．其中的真命题是________(把正确的命题序号全部填在横线上)．解析：对于①，相应的两个平面可能相交，因此①不正确；对于②，其中的两条直线可能是两条平行直线，此时相应的两个平面不一定平行，因此②不正确；对于③④，显然正确．答案：③④14.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E、F分别为PA、PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的有________个．解析：将几何体展开图拼成几何体(如图)，因为E、F分别为PA、PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为B∉平面PAD，E∈平面PAD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错．答案：215．如图，将∠B＝π3，边长为1的菱形ABCD沿对角线AC折成大小等于θ的二面角B－AC－D，若θ∈[π3，2π3]，M、N分别为AC、BD的中点，则下面的四种说法：①AC⊥MN；②DM与平面ABC所成的角是θ；③线段MN的最大值是34，最小值是34；④当θ＝π2时，BC与AD所成的角等于π2.其中正确的说法有________(填上所有正确说法的序号)．解析：如图，AC⊥BM，AC⊥MD⇒AC⊥平面BMD，所以AC⊥MN，①正确；因为θ∈[π3，2π3]，且线与面所成角的范围为[0，π2]，所以DM与平面ABC所成的角不一定是θ，②错；BM＝DM＝32，MN⊥BD，∠BMD＝θ，所以MN＝BM·cosθ2＝32·cosθ2，所以线段MN的最大值是34，最小值是34，③正确；当θ＝π2时，过C作CE∥AD，连结DE，且DE∥AC，则∠BCE(或其补角)即为两直线的夹角，BM⊥DM，BM＝DM＝32，BD2＝32，又DE∥AC，则DE⊥平面BDM，∴DE⊥BD，BE2＝32＋1＝52，cos∠BCE＝1＋1－522＝－14≠0，所以④错．答案：①③16．设A、B、C是球面上三点，线段AB＝2，若球心到平面ABC的距离的最大值为3，则球的表面积等于________．解析：△ABC所在截面圆的直径为2r＝AB＝2时，球心到平面ABC的距离最大，此时球半径R＝1＋3＝2，S球＝4πR2＝16π.答案：16π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，长方体AC1中，AB＝2，BC＝AA1＝1.E、F、G分别为棱DD1、D1C1、BC的中点．(1)试在底面A1B1C1D1上找一点H，使EH∥平面FGB1；(2)求四面体EFGB1的体积．解析：(1)取A1D1的中点P，D1P的中点H，连结DP、EH，则DP∥B1G，EH∥DP，∴EH∥B1G，又B1G⊂平面FGB1，∴EH∥平面FGB1.即H在A1D1上，且HD1＝14A1D1时，EH∥平面FGB1.(2)∵EH∥平面FGB1，∴VE—FGB1＝VH—FGB1，而VH—FGB1＝VG—HFB1＝13×1×S△HFB1，S△HFB1＝S梯形B1C1D1H－S△B1C1F－S△D1HF＝58，∴V四面体EFGB1＝VE—FGB1＝VH—FGB1＝13×1×58＝524.18．(本小题满分12分)直棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.(1)求证：平面ACB1⊥平面BB1C1C；(2)在A1B1上是否存在一点P，使得DP与平面BCB1和平面ACB1都平行？证明你的结论．解析：(1)证明：直棱柱ABCD—A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC.又∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2，∴AC＝2，∠CAB＝45°，∴BC＝2，∴BC⊥AC.又BB1∩BC＝B，BB1⊂平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C.又∵AC⊂平面ACB1，∴平面ACB1⊥平面BB1C1C.(2)存在点P，P为A1B1的中点．要使DP与平面BCB1和平面ACB1都平行，就要使DP与平面BCB1和平面ACB1的交线平行．因为平面BCB1∩平面ACB1＝B1C，所以只要DP∥B1C即可．因为A1B1∥DC，所以四边形DCB1P为平行四边形，所以B1P＝DC＝12A1B1＝1，所以P为A1B1的中点．即当P为A1B1的中点时，DP与平面BCB1和平面ACB1都平行．19．(本小题满分12分)(2010·浙江)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE＝EB＝AF＝23FD＝4.沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF.(1)求二面角A′－FD－C的余弦值；(2)点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长．解析：(1)取线段EF的中点H，AF的中点G，连结A′G，A′H，GH，因为A′E＝A′F及H是EF的中点，所以A′H⊥EF.又因为平面A′EF⊥平面BEF，所以A′H⊥平面BEF.又AF⊂平面BEF，故A′H⊥AF，又因为G，H是AF、EF的中点．易知GH∥AB，所以