2013级分子动理论练习解答

练习21气体动理论的基本观点理想气体的压强公式1．氢分子的质量为243.310g，如果每秒有2310个氢分子沿着与容器器壁的法线成45角的方向，以510/cms的速率撞击在22.0cm面积上(碰撞是完全弹性的)，则器壁所承受的压强为多少？答案：Pap310×33.2=解：如图所示，所有分子对器壁的冲量为：2cosFtNmv式中2310N，取1st，则2cosFNmv根据气体压强公式：SFp=，有：SFp=2733043221023.310102cos452123102.310PanmvtS。2．一容器内储有氧气，其压强1.0patm，温度300TK，求容器内氧气的（1）分子数密度；（2）分子间的平均距离；（3）分子的平均平动动能；（4）分子的方均根速率。答案：；）；（）（m1044.3e2m/1045.2n19325-×=×=；）；（）（s/m87.482v4J1012.6ε3221=×=-解：（1）由气体状态方程nkTp得：5253231.013102.4510/1.3810300pnmkT；（2）分子间的平均距离可近似计算：93325113.44102.4510amn；（3）分子的平均平动动能：2321331.38103006.211022tkTJ；（4）分子的方均根速率：1287.48273.1smMRTvmol。xvv3．在太阳内部距中心约20%半径处，氢核和氦核的质量百分比分别约为70%和30%，该处温度为69.010K，密度为433.610kgm。求：此处的压强为多少atm？（视氢核和氦核都构成理想气体而各自产生自身的压强，氢核和氦核的摩尔质量分别为1g/mol和4g/mol。）答案：atmPap101510×1.2=10×1.2=4、有容积为V的容器，中间用隔板分成体积相等的两部分，两部分分别装有质量为m的分子1N和2N个,它们的方均根速率都是0，求：(1)两部分的分子数密度和压强各是多少?(2)取出隔板平衡后最终的分子数密度和压强是多少?答案：；；；，）（VvmNPVvmNPVNnVNn32=32=2=2=1202220112211；）（VVmNNP3)+(=22021[解](1)分子数密度VNVNnVNVNn2222111122由压强公式：231=vnmP，可得两部分气体的压强为VvmNvmnPVvmNvmnP32=31=32=31=20220222012011(2)取出隔板达到平衡后，气体分子数密度为VNNVNn21混合后的气体，由于温度和摩尔质量不变，所以方均根速率不变，于是压强为：VVmNNVnmP3)(31202120练习22温度的统计解释能量均分定理理想气体的内能1、一容积为3cm10的电子管，当温度为300K时，用真空泵把管内空气抽成压强为mmHg1056的真空，问：（1）此时管内有多少个空气分子?（2）这些分子的总平动动能是多少?（3）总转动动能是多少?（4）总动能是多少?（将空气中的分子看成是由双原子刚性分子组成）答案：；）；（）；（）个；（）（JEJEJEN882811210×667.1=410×667.0=310×1=210×61.1=1-k--[解]（1）由kTVNP得12236561061.13001038.1760101010013.1105kTPVN（2）一个理想气体分子的平均平动动能为：kTkTie2321所以总的平动动能为：86561101100.176010013.110523232323PVkTkTPVkTNE(J)（3）每一个双原子分子的平均转动动能为：kTkTkTre2222所以总的转动动能为：86562210667.0101076010013.1105PVkTkTPVeNE(J)（4）总动能82110667.1EEEk(J)2、容积为33m1010的容器以速率sm200匀速运动，容器中充有质量为50g，温度为18℃的氢气。设容器突然静止，全部定向运动的动能（即轨道动能）都转变为气体热运动的动能，若容器与外界没有热交换，达到平衡时氢气的温度增加了多少?压强增加了多少?氢分子视为刚性分子。答案：PapΔKTΔ410×95.3=9.1=；[解]由能量守恒定律知kEΔMV=212又因TΔRMMTΔRiMMEΔmolmolk25=2=所以22742233.32104101.92()5551.3810molMmVTVKRk由kTVNp=323427350101.38101.93.9510()3.32101010NMkTpkTPaVmV式中273.3210mkg为氢分子质量。2、将一摩尔水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，即,21222OHOH也就是一摩尔的水蒸汽可分解成一摩尔的氢气和二分之一摩尔的氧气。求：内能增加了百分之几？（所有气体分子均视为刚性分子）。答案：%25=%100×1EEΔ[解]由水的分解方程知，1mol水蒸气分解为1mol氢气和21mol氧气。设温度为T，1mol水蒸气的内能RTRTRTiE3=26=2=11mol氢气的内能RTRTiE25=2=221mol氧气的内能RTRTRTiγE45=25×21=2=3所以RTEEEEΔ43=+(=132)-所以内能增加的百分比为%25=%100×1EEΔ4．容器的体积为2V0，绝热板C将其隔为体积相等的A、B两个部分，A内储有1mol单原子理想气体，B内储有2mol双原子理想气体，A、B两部分的压强均为p0。（1）求A、B两部分气体各自的内能；（2）现抽出绝热板C，求两种气体混合后达到平衡时的温度和压强。答案：）；（；）（225=23=10000VpEVpEBA00813pVTR；；01312=pP解：（1）由理想气体内能公式：RTiE2A中气体为1mol单原子理想气体：00333222AAAERTRTpV，B中气体为2mol双原子理想气体：00552522BBBERTRTpV；（2）混合前总内能：000000035422ABEEEpVpVpV，混合后内能不变，设温度为T，有：003542ERTRTpV，∴00813pVTR；00000003833122221313NpVpnkTkTRTRpVVVR020O()Nfa练习23麦克斯韦速率分布律1.设有N个粒子的系统，其速率分布如图所示，当02时，0=)(υNf，求：(1)分布函数)(vf的表达式；(2)常数a（由N和0v表示）；．(3)粒子的平均速率．(4)0.50v到1.00v区间内粒子的平均速率。答案：（1）略；（2）023Na；（3）；0911=vv（4）；097=vv解：（1）从图上可得分布函数表达式：)2(0)()2()()0(/)(00000vvvNfvvvavNfvvvavvNf，)2(0)2(/)0(/)(00000vvvvvNavvNvavvf)(vf满足归一化条件，但这里纵坐标是)(vNf而不是)(vf故曲线下的总面积为N。(2)由归一化条件得000200ddaaN，即002aaN，有023Na；(3)N个粒子平均速率：000200200ddd)(1d)(vvvvavvvavvvvNfNvvvfv02020911)2331(1vavavNv(4)05.0v到01v区间内粒子平均速率：00005.0115.0ddvvvvNNvNNNNvv00005.05.00211dd)(vvvvvNvavNNvvvfNN2471)243(1d120103003015.002100avNvavvavNvvavNvvv05.0v到01v区间内粒子数：NavvvaaN4183)5.0)(5.0(210001，9767020vNavv2、导体中自由电子的运动可以看成类似于气体分子的运动，所以常常称导体中的电子为电子气，设导体中共有N个自由电子，电子气中电子的最大速率为fv（称做费米速率），电子的速率分布函数为：24,0()0,ffAvvvfvvv，式中A为常量，求：（1）用N和fv确定常数A；（2）证明自由电子气中自由电子的平均动能为fk53，其中321fefvm称做费米能级。答案：（1）334fAv；（2）2310kefmv。解：（1）由速率分布函数的归一化条件0()1fvdv，有20401ffvvAvdvdv，得3413fAv，所以常数334fAv；（2）电子气中一个自由电子的平均动能为22252001233()4225105ffvvekeefeffmmvfvdvvAvdvAmvmv3、在麦克斯韦分布下，（1）计算温度1300TK和2T600K时氧气分子最可几速率1pv和2pv；（2）计算在这两温度下的最可几速率附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率。答案：（1）；；smvsmvpp/558=/394=21（2）；）（；）（%15.0=%21.0=21ppvfvf解：根据最可几速率的定义：221.414pkTRTRTvm（1）温度1300TK：13228.31300394/3210pRTvms，2600TK：23228.31600558/3210pRTvms；（2）在最可几速率附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率就是麦克斯韦分布函数：232224()()2mvkTmfvevkT300TK，394/vms代入：；）（%21.0=1pvf600TK，558/vms代入：；；）（%15.0=2pvf4、质量为g146.210的粒子悬浮于27℃的液体中，观测到它的方均根速率为cm/s40.1。(1)计算阿佛加德罗常数。(2)设粒子遵守麦克斯韦分布律，求粒子的平均速率。答案：）；（）（molN23010×15.6=1）（smv/10×30.1=2[解](1)由方均根速率公式molMRTv32得到23vRTMmol阿佛加德罗常数为mol1015.6102.6104.130031.83323172220mvRTMMNmol(2)molmolMRTMRTv60.18而molmolMRTMRTv73.132所以sm1030.11040.173.160.173.160.1222vv