2012年高考真题理科数学解析分类汇编9直线与圆

2012年高考真题理科数学解析分类汇编9直线与圆1.【2012高考重庆理3】任意的实数k，直线1kxy与圆222yx的位置关系一定是A．相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心【答案】C【解析】直线1kxy恒过定点)1,0(，定点到圆心的距离21d，即定点在圆内部，所以直线1kxy与圆相交但直线不过圆心，选C.2.【2012高考浙江理3】设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当1a时，直线1l：02yx，直线2l：042yx，则1l//2l；若1l//2l，则有012)1(aa，即022aa，解之得，2a或1a，所以不能得到1a。故选A.4.【2012高考陕西理4】已知圆22:40Cxyx，l过点(3,0)P的直线，则（）A.l与C相交B.l与C相切C.l与C相离D.以上三个选项均有可能【答案】A.【解析】圆的方程可化为4)2(22yx，易知圆心为)0,2(半径为2，圆心到点P的距离为1，所以点P在圆内.所以直线与圆相交.故选A.5.【2012高考天津理8】设Rnm,，若直线02)1()1(ynxm与圆1)1()1(22yx相切，则m+n的取值范围是（A）]31,31[（B）),31[]31,(（C）]222,222[（D）),222[]222,(【答案】D【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法，并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.【解析】圆心为)1,1(，半径为1.直线与圆相切，所以圆心到直线的距离满足1)1()1(|2)1()1|22nmnm（，即2)2(1nmmnnm，设znm，即01412zz，解得,222z或,222z6.【2012高考江苏12】（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为228150xyx，若直线2ykx上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是▲．【答案】43。【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离【解析】∵圆C的方程可化为：2241xy，∴圆C的圆心为(4,0)，半径为1。∵由题意，直线2ykx上至少存在一点00(,2)Axkx，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点；∴存在0xR，使得11AC成立，即min2AC。∵minAC即为点C到直线2ykx的距离2421kk，∴24221kk，解得403k。∴k的最大值是43。7.【2012高考全国卷理21】（本小题满分12分）已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：（x-1）2+(12y)2=r2(r＞0)有一个公共点，且在A处两曲线的切线为同一直线l.（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离.【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程，以及两个曲线的公共点处的切线的运用，并在此基础上求解点到直线的距离。解：（1）设200(,(1))Axx，对2(1)yxx求导得2(1)yx，故直线l的斜率02(1)kx，当01x时，不合题意，所心01x圆心为1(1,)2M，MA的斜率2001(1)21xkx由lMA知1kk，即20001(1)22(1)11xxx，解得00x，故(0,1)A所以2215||(10)(1)22rMA（2）设2(,(1))aa为C上一点，则在该点处的切线方程为2(1)2(1)()yaaxa即22(1)1yaxa若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为52，即2221|2(1)11|522[2(1)](1)aaa，化简可得22(46)0aaa求解可得0120,210,210aaa抛物线C在点2(,(1))(0,1,2)iiaai处的切线分别为,,lmn，其方程分别为21yx①2112(1)1yaxa②2222(1)1yaxa③②－③得1222aax，将2x代入②得1y，故(2,1)D所以D到直线l的距离为22|22(1)1|6552(1)d。【点评】该试题出题的角度不同于平常，因为涉及的是两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来，是该试题的创新处。另外对于在第二问中更是难度加大了，出现了另外的两条公共的切线，这样的问题对于我们以后的学习也是一个需要练习的方向。8.【2012高考湖南理21】（本小题满分13分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.【解析】（Ⅰ）解法1：设M的坐标为(,)xy，由已知得222(5)3xxy，易知圆2C上的点位于直线2x的右侧.于是20x，所以22(5)5xyx.化简得曲线1C的方程为220yx.解法2：由题设知，曲线1C上任意一点M到圆心2C(5,0)的距离等于它到直线5x的距离，因此，曲线1C是以(5,0)为焦点，直线5x为准线的抛物线，故其方程为220yx.（Ⅱ）当点P在直线4x上运动时，P的坐标为0(4,)y，又03y，则过P且与圆2C相切得直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),yykx0即kx-y+y+4k=0.于是02543.1kykk整理得2200721890.kyky①设过P所作的两条切线,PAPC的斜率分别为12,kk，则12,kk是方程①的两个实根，故001218.724yykk②由101240,20,kxyykyx得21012020(4)0.kyyyk③设四点A,B,C,D的纵坐标分别为1234,,,yyyy，则是方程③的两个实根，所以0112120(4).ykyyk④同理可得0234220(4).ykyyk⑤于是由②，④，⑤三式得0102123412400(4)(4)ykykyyyykk2012012124004()16ykkykkkk22001212400166400yykkkk.所以，当P在直线4x上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到,,,ABCD四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.