2012年高考第二轮复习资料-专题十一教材回扣第10讲

第10讲概率与统计高考要点回扣1．计数原理分类计数原理，重在分类，类与类之间具有独立性和并列性；分步计数原理，重在分步，步与步之间具有相依性和连续性，比较复杂的问题，常先分类再分步．2．排列与组合(1)排列数公式Amn＝n(n－1)(n－2)…[n－(m－1)]＝n！(n－m)！，其中m，n∈N*，m≤n.当m＝n时，Ann＝n·(n－1)·……·2·1＝n！，规定0！＝1.(2)组合数公式Cmn＝AmnAmm＝n(n－1)(n－2)…[n－(m－1)]m！＝n！m！(n－m)！.(3)组合数性质Cmn＝Cn－mn，Cmn＋Cm－1n＝Cmn＋1，规定C0n＝1，其中m，n∈N*，m≤n.(4)处理排列组合应用题的规律解排列组合问题应遵循的原则：先特殊后一般，先选后排，先分类后分步．常用策略：相邻问题“捆绑法”；不相邻问题“插空法”；定序问题“倍缩法”(某些元素顺序一定，应用乘法或除法处理)；多元素问题“分类法”；分排问题“单排法”；“小集团”排列问题先整体后局部；穷举法(将所有满足条件的排列逐一列举)；等价转换法(将陌生复杂问题转化为熟悉简单的问题)．如①将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有______种．②从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有___种．3．二项式定理(1)定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cn－1nabn－1＋Cnnbn(n∈N*)．通项(展开式的第r＋1项)：Tr＋1＝Crnan－rbr，其中Crn(r＝0,1，…，n)叫做二项式系数．(2)二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C0n＝Cnn，C1n＝Cn－1n，C2n＝Cn－2n，…，Crn＝Cn－rn.②二项式系数的和等于2n(组合总数公式)，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.3570③二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.特别提醒二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，往往因为概念不清导致出错．4．随机事件的概率(1)随机事件的概率0≤P(A)≤1(若事件A为必然事件，则P(A)＝1，若事件A为不可能事件，则P(A)＝0)．(2)古典概型P(A)＝mn(其中，n为一次试验中可能出现的结果总数，m为事件A在试验中包含的基本事件个数)．5．互斥事件有一个发生的概率P(A＋B)＝P(A)＋P(B)(1)公式适合范围：事件A与B互斥．(2)P(A)＝1－P(A)．推广：若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．6．相互独立事件同时发生的概率P(A·B)＝P(A)·P(B)(1)公式适合范围：事件A与B独立．(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1·A2·…·An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)．7．独立重复试验如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k.8．几何概型一般地，在几何区域D内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为P(A)＝d的度量D的度量.此处D的度量不为0，其中“度量”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等．即P(A)＝构成事件A的区域长度(面积和体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积和体积)9．条件概率一般地，设A、B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)＝P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．一般把P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．10．离散型随机变量的均值与方差(1)若ξ的概率分布为ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…则均值E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…，方差V(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋…＋(xn－E(ξ))2·pn＋….若ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np，V(ξ)＝npq，这里q＝1－p.(2)标准差σ＝V(ξ)，E(a(ξ)＋b)＝aE(ξ)＋b，V(aξ＋b)＝a2V(ξ)，求随机变量的概率分布、均值与方差关键是概率计算，首先应明确随机变量ξ的可能取值，然后计算出ξ取每一个值时的概率．11．随机抽样(1)简单随机抽样实现简单随机抽样，主要有两种方法：抽签法和随机数表法．(2)系统抽样①采用随机的方法将总体中的个体编号．②确定分段间隔．③在第1段用简单随机抽样确定起始的个体编号．④按照事先确定的规则抽取样本．(3)分层抽样当已知总体由差异明显的几部分组成时常用分层抽样．12．利用样本频率估计总体分布(1)当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取的样本不同数值及相应的频率表示，其几何表示就是相应的条形图．(2)当总体中的个体取不同数值较多时，用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布．13．标准差和方差的关系计算标准差的平方就是方差，方差的计算(1)基本公式s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]．(2)简化计算公式(Ⅰ)s2＝1n[(x21＋x22＋…＋x2n)－nx2]，或写成s2＝1n(x21＋x22＋…＋x2n)－x2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方．(3)简化计算公式(Ⅱ)s2＝1n(x1′2＋x2′2＋…＋xn′2)－x′2当一组数据中的数据较大时，可依照简化平均数的计算方法，将每个数同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据x1′＝x1－a，x2′＝x2－a，…，xn′＝xn－a，即得上述公式．如甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)甲108999乙1010799如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的应是________．甲精品回扣练习1．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：组别(0，10](10，20](20，30](30，40](40，50](50，60](60，70]频数1213241516137则样本数据落在(10,40]上的频率为________．解析(10,40]包含(10,20]，(20,30]，(30,40]三部分，共13＋24＋15＝52(个)样本数据．故数据落在(10,40]上的频率为52100＝0.52.0.522．2011年大运会在深圳举行，根据组委会的要求，在男子乒乓球比赛的颁奖仪式上需要三名志愿者，已知负责乒乓球部的志愿者共有男生4人，女生3人，若要求男、女志愿者各至少选一人，则不同的选法共有________种．解析根据题意，可分为以下2种情况：(1)男志愿者选1人，则女志愿者选2个，不同的选法有C14C23种；(2)男志愿者选2人，女志愿者选1人，不同的选法有C24C13种．所以不同的选法共有C13C24＋C23C14＝18＋12＝30(种)．303．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为________．解析由样本平均值为1，知15(a＋0＋1＋2＋3)＝1，故a＝－1.∴样本方差s2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝15(4＋1＋0＋1＋4)＝2.24．(2010·全国)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．解析种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1000，0.1)，∴E(ξ)＝1000×0.1＝100，故需补种的期望为2·E(ξ)＝200.2005．在一盒子里盛有若干个均匀的红球和白球，从中任取一个球，取到红球的概率为13；若从中任取两个球，取到的全是红球的概率为111.则盒子里红球和白球的个数和为____．解析设盒子里有红球x个，有白球y个．从中任取一个球，取到红球的概率为13，有xx＋y＝13，得y＝2x，则盒子里共有3x个球．若从中任取两个球，取到的全是红球的概率为C2xC23x＝111，解得x＝4.∴盒子里一共有红球和白球为12个．126．(2011·山东)若(x－ax2)6展开式的常数项为60，则常数a的值为________．解析(x－ax2)6展开式的通项为Tr＋1＝Cr6x6－r(－1)r·(a)r·x－2r＝Cr6x6－3r(－1)r·(a)r.令6－3r＝0，得r＝2.故C26(a)2＝60，解得a＝4.47．如图，天花板挂着三串小玻璃球，第一串挂着2个小球，第二串挂着3个小球，第三串挂着4个小球．射击规则为：下面小球被击中后方可以射击上面的小球，若球A恰好在第五次射击中被击中，B球恰好在第六次射击被击中，则这9个小球全部被击中的情形有(假设每次都击中)________种．解析先分析球A被第五次击中，球B被第六次击中的含义．根据题意应该是前面四次射击击中了第一串中的一个小球，第二、三串中A，B下方的三个小球，并且在第三串球A的下方的两个小球，应该是有先后顺序的，只能是从下向上顺序射击，所以四个小球的射击方法有12A44种方法．然后，射击完A，B在每串上各有一个小球，共有A33种射击方案，所以总共有12A44A33＝72(种)不同的情形．答案728．已知某人投篮的命中率为34，则此人投篮4次，至少命中3次的概率是________．解析该人投篮4次，命中3次的概率为：P1＝C343431－34＝2764；该人投篮4次，命中4次的概率为：P2＝C44344＝81256，故至少命中3次的概率是P＝2764＋81256＝189256.1892569．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个s2＝________.解析由题意知：x甲＝15(6＋7＋7＋8＋7)＝7，x乙＝15(6＋7＋6＋7＋9)＝7，s2甲＝15[(6－7)2＋(8－7)2]＝25，s2乙＝15[(6－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2]＝65.∵2565，∴s2＝25.2510．华联商厦打算在国庆节举办促销活动．其商厦策划部决定从3种名牌服装、2种彩电、4种冰箱中，选出3种商品进行促销活动．(1)试求选出的3种商品中至少有一种冰箱的概率；(2)商厦对选出的商品采用有奖促销，即在该商品现价的基础上价格提高280元，同时允许顾客每购买1件促销商品有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得奖金200元，假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的．试分析此种有奖促销方案对商场是否有利．解(1)从3种名牌服装、2种彩电、4种冰箱中，选出3种商品，一共有C39种不同的选法，选出的3种商品中，没有冰箱的选法有C35种，所以选出的3种商品中至少有一种冰箱的概率为P＝1－C35C39＝1－542＝3742.(2)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量ξ，其所有可能的取值为0,200,400,600(单位：元)．ξ＝0表示顾客在三次抽奖中都没有获奖，所以P(ξ＝0)＝123＝18；同理可得P(ξ＝200)＝C13·12·122＝38；P(ξ＝400)＝C23122·12＝38；P(ξ＝600)＝123＝18.于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是E(ξ)＝0×18＋200×38＋400×38＋600×18＝300280，故这种促销方案对商场不利．返回