2012年高考试题分类考点37空间直角坐标系空间向量及其运算

-1-考点37空间直角坐标系、空间向量及其运算一、解答题1.（2012·北京高考理科·Ｔ16）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2.（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由.【解题指南】（1）利用线面垂直的判定定理证明；（2）（3）找出三个垂直关系，建系，利用向量法求解.【解析】（1）//,,DEBCACBCDEAC，1,DEADDECD，111,,ADCDDDEACDDEAC面又11,,ACCDCDDEDACBCDE面.（2）由（1）可知，1,,CBCDAC两两互相垂直，分别以它们为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,23)A,(0,1,3),(0,1,3),(1,2,0),MCMBE1(3,0,23)AB，设平面1ABE的法向量为1111(,,)nxyz，由1111111203230nBExynABxz，令11x，得113(1,,)22n，ABCDECBEDA1M图1图2-2-设所求线面角为，则11322sin22nCM，2sin2，[0,]2，4.（3）假设存在这样的点P，设点P的坐标为(m,0,0)，04m3,(0,2,0)D,1(,0,23),APm1(0,2,23)AD,设2222(,,)nxyz为平面1ADP的法向量，由212221222302230nAPmxznADyz，令23z，得26(,3,3)nm，又11ADPABE平面与平面垂直，12nn633022m，解得2m（舍去）.所以不存在点P.2.（2012·辽宁高考理科·T18）如图，直三棱柱///ABCABC，90BAC，/,ABACAA点M，N分别为/AB和//BC的中点.(Ⅰ)证明：MN∥平面//AACC;(Ⅱ)若二面角/AMNC为直二面角，求的值.【解题指南】（1）由中点联想到中位线，据中位线和底边平行，解决问题；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求的值【解析】（1）连接,ABAC,由已知得M为AB的中点，又N为BC的中点，所以MN为三角形ABC的中位线，故MN∥AC,又MNAACCACAACC平面，平面，-3-因此（2）以A为坐标原点O，分别以直线,,ABACAA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系oxyz，设1AA，则ABAC,从而(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,1),(,0,1),(0,,1)ABCABC所以1(,0,),(,,1)2222MN设(,,)mxyz是平面AMN的一个法向量，由00mAMmMN得10221022xzyz取1x，则1,yz，故(1,1,)m设(,,)nabc是平面MNC的一个法向量，由00nNCnMN得取1b，则3,ac，故(3,1,)n因为AMNC为直二面角，所以0(1,1,)(3,1,)02mn.3.（2012·天津高考理科·Ｔ17）如图，在四棱锥PABCD中，PA丄平面ABCD，AC丄AD，AB丄BC，∠BCA==2PAAD，=1AC.DCBAP(Ⅰ)证明PC丄AD；（Ⅱ）求二面角APCD--的正弦值；（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为030，求AE的长.-4-【解题指南】建立空间直角坐标系应用空间向量证明垂直关系、求空间角较简捷.【解析】方法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B)0,21,21(，P（0,0,2），（Ⅰ）易得),2-,1,0(PC),0,0,2(AD于是0.ADPC，所以PC⊥AD.（Ⅱ）PC(0,1,-2),CD(2,1,0),设平面PCD的一个法向量n),,,(zyxn则不妨令1z，可得n)1,2,1(n，可取平面PAC的一个法向量m)0,0,1(m，于是从而所以二面角A-PC-D的正弦值为630.（Ⅲ）设点E的坐标为（0,0,h）,其中]2,0[h，由此得11(,,),22BEh=-由(2,1,0),CD=-故2BECD3cosBE,CD|BE||CD|1020h，所以2330cos2010302h，解得1010h，即1010AE.