2012年高考试题理科数学(北京卷)——含答案及解析

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页.150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题。每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1.已知集合A={x∈R|3x+2＞0}B={x∈R|（x+1）(x-3)＞0}则A∩B=A.（﹣，﹣1）B.（﹣1，﹣23）C.（﹣23,3）D.(3,+)【考点】集合【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。2.设不等式组0202xy，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是A.4B.22C.6D.44【考点】概率【难度】容易【点评】本题考查几何概率的计算方法。在高二数学（理）强化提高班，第三章《概率》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。3.设a，b∈R.“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】复数的计算【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。4.执行如图所示的程序框图，输出S值为A.2B.4C.8D.16【考点】算法初步【难度】中等【点评】本题考查几何概率的计算方法。在高二数学（理）强化提高班上学期，第一章《算法初步》有详细讲解，其中第02讲有完全相似的题目。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对程序框图题目相关的总结讲解。5.如图.∠ACB=90º。CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则A.CE·CB=AD·DBB.CE·CB=AD·ABC.AD·AB=CD²D.CE·EB=CD²【考点】切线定理【难度】容易【点评】本题考查切线定理的应用。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第三章《圆锥曲线与方程》有详细讲解，其中第04节是弦长计算的专题讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班、百日冲刺班中均有对圆锥曲线知识的总结讲解。6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为A.24B.18C.12D.6【考点】概率【难度】容易【点评】本题考查几何概率的计算方法。在高二数学（理）强化提高班，第三章《概率》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。7.某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（）A.28+6B.30+6C.56+12D.60+128.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。m值为（）A.5B.7C.9D.11【考点】统计【难度】中等【点评】本题考查几何统计学的相关方法。在高二数学（理）强化提高班上学期，第二章《算法初步》有详细讲解，其中第02讲有完全相似的题目。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对统计题目相关的总结讲解。第二部分(非选择题共110分)二.填空题共6小题。每小题5分。共30分.9.直线21xtyt(t为参数)与曲线3cossinxy(α为参数)的交点个数为.【考点】参数方程的应用【难度】中等【点评】本题考查利用导数判断函数单调性，进而判断函数与坐标轴交点。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第二章《函数》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对参数方程相关知识的总结讲解，同时还包含很多导数与数列、与圆锥曲线相结合的题目。10.已知{}na等差数列nS为其前n项和.若1233,2aSa，则2a=【考点】数列【难度】容易【点评】本题考查等比数列的性质。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第二章《数列》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对数列相关知识的总结讲解。11.在△ABC中，若α=2，b+c=7,3cos4则b=【考点】解三角形【难度】容易【点评】本题考查解三角形及余弦定理的应用。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第一章《解三角形应用问题》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对解三角形相关知识的总结讲解。12.在直角坐标系xOy中.直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60º.则△OAF的面积为【考点】抛物线【难度】较难【点评】本题考查抛物线、直线的综合知识。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第三章《圆锥曲线与方程》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班、百日冲刺班中均有对椭圆、双曲线、抛物线相关知识的总结讲解，同时高清课程《平面解析几何专题》也有对椭圆的专题讲解。13.己知正方形ABCD的边长为l，点E是AB边上的动点.则.DECB值为【考点】向量【难度】容易【点评】本题考查向量的计算问题。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第六章《平面向量》有详细讲解，其中第01讲，有向量计算问题的专题讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对向量相关知识的总结讲解。14.已知f(x)=m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)=2x－2，若同时满足条件：①x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0②x∈(﹣∝,﹣4),f(x)g(x)＜0则m的取值范围是【考点】函数性质及导数、不等式综合知识【难度】中等【点评】本题考查利用导数判断函数的相关性质及函数与不等式的综合问题。在高二数学（理）强化提高班下学期，第一章《导数》有详细讲解，在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第五章《不等式》有不等式详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数、导数及不等式综合知识的总结讲解。三、解答题公6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15．（本小题共13分）已知函数(sincos)sin2()sinxxxfxx。（1）求()fx的定义域及最小正周期；（2）求()fx的单调递减区间。【考点】三角函数【难度】容易【点评】本题考查三角函数的恒等变换。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第五章《三角函数》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对三角函数相关知识的总结讲解。16.（本小题共14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2.（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由【考点】立体几何综合题【难度】中等【点评】本题考查立体几何中垂直关系的证明及直线与平面所成角的求解。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第四章《立体几何》，高二数学（理）强化提高班上学期，第七章《空间向量与立体几何》有详细讲解，有完全相似的题目剖析。在高考精品班数学（理）强化提高班、寒假特训班中有对立体几何相关知识的总结讲解。17．（本小题共13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a﹥0，a+b+c=600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值。（注：2222121[()()...()]nsxxxxxxn，其中x为数据1x2x…，nx的平均数）【考点】概率计算综合题【难度】中等【点评】本题考查概率的计算，包括期望和方差的计算。在高二数学（文）强化提高班下学期，第六章《概率》有详细讲解，其中第04讲主要讲解“高考中的概率题”，有完全相似题目的讲解。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。18．（本小题共13分）(1)已知函数2310,.fxaxagxxbx(2)若曲线yfx与曲线ygx在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值；(3)当a2=4b时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间（-∞，-1）上的最大值。【考点】函数性质及导数综合【难度】中等【点评】本题考查利用导数判断函数的相关性质。在高二数学（理）强化提高班下学期，第一章《导数》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数、导数综合知识的总结讲解。19．（本小题共14分）已知曲线22:528()CmxmymR（1）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；（2）设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线。【考点】椭圆综合题【难度】较难【点评】本题考查椭圆、直线的综合知识。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第三章《圆锥曲线与方程》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班、百日冲刺班中均有对椭圆、双曲线、抛物线相关知识的总结讲解，同时高清课程《平面解析几何专题》也有对椭圆的专题讲解。20．（本小题共13分）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m，n)为所有这样的数表构成的集合。对于A∈S(m,n),记ri(A)为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)为A的第j列各数之和（1≤j≤n）：记K(A)为∣r1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。（1）对如下数表A，求K（A）的值；11-0.80.1-0.3-1（2）设数表A∈S（2,3）形如11cab-1求K（A）的最大值；（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2,2t+1），求K（A）的最大值。【考点】综合性较强的灵活题目【难度】较难【点评】本题考查数学逻辑与阅读综合能努力。在高考精品班数学（理）强化提高班、百日冲刺班中均有对灵活性题目总结概括讲解，其中强化提高班中的第六章《模拟试题分析》中有完全类似题目的详细讲解过程。