2014-2015学年新课标B版高中数学必修5+第三章+不等式+测试题

1新课标B版·数学·必修5高中同步学习方略第三章测试(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在下列四个选项中，只有一项是符合题意的)1．不等式x－1x≥2的解集为()A．[－1,0)B．[－1，＋∞)C．(－∞，－1]D．(－∞，－1]∪(0，＋∞)解析∵x－1x≥2⇔x＋1x≤0，∴x∈[－1,0)．答案A2．已知不等式ax2－5x＋b0的解集为{x|－3x2}，则不等式bx2－5x＋a0的解集为()A．{x|－13x12}B．{x|x－13，或x12}C．{x|－3x2}D．{x|x－3，或x2}解析∵－3或2是ax2－5x＋b＝0的两根，∴a＝－5，b＝30.∴bx2－5x＋a＝30x2－5x－50.即6x2－x－10，∴x12或x－13.答案B3．下列命题中正确命题的个数是()2新课标B版·数学·必修5高中同步学习方略①若xyz，则|xy||yz|；②若ab，cd，abcd≠0，则acbd；③若1a1b0，则abb2；④若ab，则bab－1a－1.A．1B．2C．3D．4解析当y＝0时，①不成立；当a＝1，b＝－2，c＝－1，d＝－2时，满足ab，cd，但acbd，故②不成立；∵1a1b0，∴ba0，∴abb2，故③成立；ba－b－1a－1＝a－baa－1，∵ab，∴a－b0，当a(a－1)0时，即a1，或a0，ba－b－1a－10，此时bab－1a－1；当a(a－1)0时，即0a1时，ba－b－1a－10，此时bab－1a－1，∴④不正确．答案A4．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．[1,2]D．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析∵|x＋3|－|x－1|＝4x≥1，2x＋2－3x1，－4x≤－3，∴－4≤|x＋3|－|x－1|≤4，∴a2－3a≥4.∴a≥4，或a≤－1.3新课标B版·数学·必修5高中同步学习方略答案A5．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为()A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元解析设甲型货车使用x辆，乙型货车y辆．则0≤x≤4，0≤y≤8，20x＋10y≥100，求z＝400x＋300y最小值．可求出最优解为(4,2)，故zmin＝2200，故选B.答案B6．已知函数f(x)＝x＋2x≤0，－x＋2x0，则不等式f(x)≥x2的解集是()A．[－1,1]B．[－2,2]C．[－2,1]D．[－1,2]解析∵x≤0，x＋2≥x2，或x0，－x＋2≥x2，∴x≤0，－1≤x≤2，或x0，－2≤x≤1，∴－1≤x≤0，或0x≤1，∴－1≤x≤1.答案A4新课标B版·数学·必修5高中同步学习方略7．如果a0b且a＋b0，那么以下不等式正确的个数是()①1a1b；②1a1a＋b；③a3ab2；④a2bb3.A．1B．2C．3D．4解析∵a0b，∴1a01b，∴①错；∵a0b，∴aa＋b0，∴1a1a＋b，②错；a3－ab2＝a(a－b)(a＋b)0，∴a3ab2，③正确；a2b－b3＝b(a－b)(a＋b)0，∴a2bb3，④正确，故选B.答案B8．若函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x0，y0满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，则不等式f(x＋6)＋f(x)2f(4)的解集为()A．(0,2)B．(2，＋∞)C．(－8,2)D．(0，＋∞)解析f[x(x＋6)]f(16)，∵f(x)在(0，＋∞)单增，∴x＋60，x0，xx＋616，∴0x2.答案A9．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2)B．[－2,2]C．(－2,2]D．(－∞，－2)5新课标B版·数学·必修5高中同步学习方略解析当a＝2经检验满足题意条件，故排除A、D项．当a＝－2时，不等式变为－4x2－8x－40，其Δ＝64－64＝0，∴当a＝－2时不成立，故排除B.答案C10．若不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4，所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则k的值是()A.73B.37C.43D.34解析由图可知，线性规划区域为△ABC边界及内部，y＝kx＋43恰过A0，43，y＝kx＋43将区域平均分成面积相等的两部分，故过BC的中点D12，52，52＝k×12＋43，k＝73，故选A项．答案A6新课标B版·数学·必修5高中同步学习方略二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知x，y满足x＋3y－7≤0，x≥1，y≥1，则z＝x＋4y的最大值________．解析根据约束条件作出可行域(图略)，当z＝x＋4y经过直线x＝1与直线x＋3y－7＝0的交点(1,2)时，zmax＝9.答案912．已知a≥0，b≥0，b22＋a2＝1，则a1＋b2的最大值是________．解析由题意，可知2a2＋b2＝2，a1＋b2＝22·(2a)·1＋b2≤22·2a2＋1＋b22＝324.当且仅当2a＝1＋b2时等号成立，即a＝32，b＝22时等号成立．答案32413．已知关于x的不等式x－ax2－3x＋2≥0的解集为{x|1x≤a，或x2}，则a的取值范围是________．解析∵x∈(1，a]∪(2，＋∞)，∴1a2.答案(1,2)14．给出下列四个命题：①若ab，则a2b2；②若a≥b－1，则a1＋a≥b1＋b；③若正整数m和n满足：mn，则mn－m≤n2；④若x0，且x≠1，则lnx7新课标B版·数学·必修5高中同步学习方略＋1lnx≥2.其中真命题的序号是____．(请把真命题的序号都填上)解析a＝－3，b＝1，①不成立；②③正确；④中当x∈(0,1)时，lnx0，∴④不成立．答案②③三、解答题(本大题共4小题，共50分，其中15、16、17题每题12分，18题14分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(12分)某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)．(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小，并求出这个最小值．解(1)每次购买原材料后，当天用掉的400千克原材料不需要保管费，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天用掉的400千克原材料需保管3天，…，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管x－1天．∴每次购买的原材料在x天内总的保管费用为y1＝400×0.03[1＋2＋3＋…＋(x－1)]＝6x2－6x(元)．(2)由(1)可知，购买一次原材料的总费用为6x2－6x＋600＋1.5×400x(元)．8新课标B版·数学·必修5高中同步学习方略∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为y＝1x(6x2－6x＋600)＋1.5×400＝600x＋6x＋594(元)．∴y≥2600x·6x＋594＝714，当且仅当600x＝6x.即x＝10时，取等号．∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最小，为714元．16．(12分)已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b.(1)解关于a的不等式f(1)0；(2)当不等式f(x)0的解集为(－1,3)时，求实数a，b的值．解(1)f(1)＝－3＋a(6－a)＋b0，即a2－6a＋3－b0.①当Δ＝36－4(3－b)≤0，即b≤－6时，该不等式无解．②当Δ＝36－4(3－b)0，即b－6时，该不等式的解集为(3－b＋6，3＋b＋6)．(2)∵f(x)0的解集为(－1,3)，∴－1,3是f(x)＝0的两根．∴－1＋3＝a6－a3，－1×3＝－b3，∴a＝3±3，b＝9.17．(12分)已知f(x)是二次函数，不等式f(x)0的解集是(0,5)，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12.(1)求f(x)的解析式；9新课标B版·数学·必修5高中同步学习方略(2)解关于x的不等式2x2＋a－10x＋5fx1(a0)．解(1)∵f(x)是二次函数，且f(x)0的解集是(0,5)，∴可设f(x)＝Ax(x－5)(A0)．∴f(x)的对称轴为x＝52且开口向上．∴f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6A＝12，∴A＝2.∴f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x.(2)由已知，有ax＋52x2－10x0，∴x(x－5)(ax＋5)0.又a0，∴x(x－5)x＋5a0.①若－1a0，则5－5a.∴x0，或5x－5a.②若a＝－1，则x0.③若a－1，则－5a5，∴x0，或－5ax5.综上，可知当－1a0时，原不等式的解集为{x|x0，或5x－5a}；当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x0}；当a－1时，原不等式的解集为{x|x0，或－5ax5}．18．(14分)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，10新课标B版·数学·必修5高中同步学习方略要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入16(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．解(1)设每件定价为t元，由题意，有8－t－251×0.2t≥25×8，即t2－65t＋1000≤0，解得25≤t≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)由题得，x25时，不等式ax≥25×8＋50＋16(x2－600)＋15x有解，等价于x25时，a≥150x＋16x＋15有解．∵150x＋16x≥2150x×16x＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2.当该商品明年的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．