2014-2015学年第一学期概率统计试卷A(答案)

1装订线华南农业大学期末考试试卷（A卷）2014学年第1学期考试科目：概率论与数理统计考试类型：（闭卷）考试考试时间：120分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分得分评阅人一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.有100张从1到100号的卡片，从中任取一张，取到卡号是7的倍数的概率为（A）A.507B.1007C.487D.100152.设A和B互不相容，且()0PA，()0PB，则下列结论正确的是（C）A.(|)0PABB.()(|)PAPABC.(|)0PABD.()()()PABPAPB3.设A和B相互独立，且()0PA，()0PB，则一定有()PAB（A）A.1()()PAPBB.1()()PAPBC.()()PAPBD.1()PAB4.设随机变量X的概率密度为21(2)81()8xfxe，若()()PXCPXC，则C的值为(D)A.0B.-2C.2D.25.下列函数可以作为某随机变量的密度函数的为：(D)A.其他,0],0[,cos)(xxxfB.其他,02,21)(xxfC.0,00,21)(222)(xxexfxD.0,00,)(xxexfx6.设X1、X2是随机变量，其数学期望、方差都存在，C是常数，下列命题中（1）E(CX1+b)=CE(X1)+b；（2）E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)（3）D(CX1+b)=C2D(X1)+b（4）D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)2正确的有(C)A.4个B.3个C.2个D.1个7.样本129(,,,)XXX取自总体(0,1)XN，则统计量49221454ijijXX服从以下分布(D?)A.(4,9)FB.(4,5)FC.(4,4)FD.以上都不是.8.设总体2(,)XN，1X，2X，…，nX（3n）是来自总体X的简单随机样本，则下列估计量中，不是总体参数的无偏估计的是(B)A.XB.12nXXXC.120.1(46)XXD.123XXX9.简单随机样本12(,)XX来自总体2(,)N，下列的无偏估计量中，最有效的估计量是(D)A.123477XXB.122355XXC.122133XXD.121122XX10.设总体2(,)XN且和2均未知。若样本容量和样本观测值不变，则下面关于总体均值的置信区间长度L与置信度1的关系的说法中正确的是。（B）A.当1减小时，L增大B.当1减小时，L减小C.当1减小时，L不变D.以上三个都不对二、填空题（本大题共7小题，每空2分，共20分）1.一个例子中有3个白球，2个黑球，从中不放回地每次任取一球，连取三次，则第一、第二次、第三次都取得白球的概率为0.1.2.已知()=0.5PA，()=0.6PB，(|)=0.8PBA，则()PAB=0.7.3.设随机变量X的分布函数为1,0()0,0xexFxx，则(2)PX=2e，X的密度函数为,0()0,0xexfxx.4.若随机变量(1,6)U，则方程210XX有实根的概率为4/5或0.8.5.设~(0,1),~(8,4)XNYN，X的分布函数为(){}xPXx，则用()x表示概率{412}PY______2(2)1或__(2)(2)_________.3装订线6.设随机变量,XY相互独立，其中X服从参数为2泊松分布，Y服从参数为12的指数分布，则()EXY=______4_______，(2)DXY=_____12_________.7.设总体(,100)XN，若要保证的置信区间长度小于等于5，当置信度为0.9时，样本容量n最小应为44，而当置信度为0.95时，样本容量n最小应为62.（提示：0.051.645u，0.0251.96u）三、概率论解答题（本大题共3小题，共36分）1.（10分）某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎型”、“一般型”和“冒失型”。统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.1和0.3。如果被保险人中“谨慎型”占20%，“一般型”占50%，“冒失型”占30%，现在知某人一年内出了事故，则他是“谨慎型”客户的概率是多少？解：设123,,AAA分别表示被保险人为“谨慎型”、“一般型”和“冒失型”，B表示被保险人在一年内出了事故。（1分）依题意，有123()0.2,()0.5,()0.3PAPAPA，111(|)0.05,(|)0.1,(|)0.3PBAPBAPBA，（2分）所以，由贝叶斯公式可得（1分）1111112233()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)PABPAPBAPABPBPAPBAPAPBAPAPBA（4分）0.20.0510.06670.20.050.50.10.30.315（2分）2.（10分）一袋中装有4个球，球上分别标有号码1，2，3，4.现从中任取2球，X为取出球中最小号码，求X的概率分布律和(21)EX解：根据题意，X可能的取值有1，2，3，（1分）取值的概率分别为13241(1)2CPXC，12241(2)3CPXC，2411(3)6PXC故X的概率分布律为(6分）X123p12131611113(21)(211)(221)(231)4.332363EX（3分）3.（16分）设随机变量X的密度函数为2,(0,1),()0,(0,1).cxxfxx1.5CM1.5CM4求：(1)常数c；(2)求X的分布函数()Fx；(3)求X的期望()EX和方差()DX；（4）求1YX的密度函数。解：（1）由120()dd13cfxxcxx知3c；（2分）（2）当0x时，()()d0d0xxFxfxxx；当01x时，230()()d3dxxFxfxxxxx；当1x时，120()()d3d1xFxfxxxx；所以30,0,(),01.1,1.xFxxxx（4分）（3）1203()()30.754EXxfxdxxxdx（2分）1222203()()30.65EXxfxdxxxdx（2分）223()()[()]0.37580DXEXEX（2分）（4）解法一：因为1YX是严格单调的函数，所以当01y时，即，01x时，2()(1)(1)3(1)YXfyfyyy当Y为其他值时，()(1)(1)0YXfyfyy所以,1YX的密度函数为：其他,010,)1(3)(2yyyfY（4分）解法二：1YX的分布函数()YFy为()()(1)(1)YFyPYyPXyPXy1(1)1(1),XPXyFy而其它100)1(3)1()]1(1[)()(2yyyfyFdyddyydFyfXXYY（4分）5装订线四、数理统计解答题（本大题共2小题，共24分）1.（12分）设总体X的概率密度1,0()0,0xexfxx，其中0是未知参数，12,,,nXXX是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量。解：矩法估计因为00001()xxxxEXxedxxdexeedx0xe或因为1XE，所以()EX（4分）由矩法估计ˆX，所以ˆX。（2分）极大似然估计似然函数为1211111()niniixnnxxxxniLeee（2分）对其求对数得：·11211ln()lnlnninixxxxLnn求导，并令其为012ln()10niixdLnd（2分）解得11ˆniixxn，的极大似然估计量为ˆX.（2分）62.（12分）设一批钢管内径服从正态分布，从这批钢管中随机抽取9根作为样本，测得内径的样本均值102x，样本标准差为2s，请在以下两种情况下对这批钢管的平均内径是否等于100进行检验（0.05）：（1）已知1.5；（2）未知。（提示：0.051.645u，0.0251.96u，0.05(8)1.860t，0.05(8)2.306t，0.05(9)1.833t，0.05(9)2.262t）解：（1）这是总体方差已知，检验均值的问题，采用U检验。（1分）假设01:100,:100HH（1分）因为102x，1.5，9n，故10210041.5/9u（2分）对于0.05，得临界值0.0251.96u（1分）因为41.96，所以应该拒绝0:100H。（1分）（2）这是总体方差未知，检验均值的问题，采用t检验。（1分）假设01:100,:100HH（1分）因为102x，2s，9n，故10210032/9t（2分）对于0.05，得临界值0.05(8)2.306t（1分）因为32.306，所以应该拒绝0:100H。（1分）