高等数学同济版下册期末考四套试题及答案

1高等数学同济版（下册）期末考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、z=)0()(log22ayxa的定义域为D=。2、二重积分1||||22)ln(yxdxdyyx的符号为。3、由曲线xyln及直线1eyx，1y所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。4、设曲线L的参数方程表示为),()()(xtytx则弧长元素ds。5、设曲面∑为922yx介于0z及3z间的部分的外侧，则dsyx)122（。6、微分方程xyxydxdytan的通解为。7、方程04)4(yy的通解为。8、级数1)1(1nnn的和为。二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(yxfz在),(00yx处可微的充分条件是（）（A）),(yxf在),(00yx处连续；（B）),(yxfx，),(yxfy在),(00yx的某邻域内存在；（C）yyxfxyxfzyx),(),(0000当0)()(22yx时，是无穷小；（D）0)()(),(),(lim22000000yxyyxfxyxfzyxyx。2、设),()(xyxfyxyfu其中f具有二阶连续导数，则2222yuyxux等于（）（A）yx；（B）x；(C)y；(D)0。3、设：,0,1222zzyx则三重积分zdVI等于（）（A）42020103cossindrrdd；（B）200102sindrrdd；2（C）2020103cossindrrdd；（D）200103cossindrrdd。4、球面22224azyx与柱面axyx222所围成的立体体积V=（）（A）20cos202244adrrad；（B）20cos202244adrrard；（C）20cos202248adrrard；（D）22cos20224adrrard。5、设有界闭区域D由分段光滑曲线L所围成，L取正向，函数),(),,(yxQyxP在D上具有一阶连续偏导数，则LQdyPdx)(（A）DdxdyxQyP)(；（B）DdxdyxPyQ)(；（C）DdxdyyQxP)(；（D）DdxdyyPxQ)(。6、下列说法中错误的是（）（A）方程022yxyyx是三阶微分方程；（B）方程xydxdyxdxdyysin是一阶微分方程；（C）方程0)3()2(22232dyyxydxxyx是全微分方程；（D）方程xyxdxdy221是伯努利方程。7、已知曲线)(xyy经过原点，且在原点处的切线与直线062yx平行，而)(xy满足微分方程052yyy，则曲线的方程为y（）（A）xex2sin；（B）)2cos2(sinxxex；（C）)2sin2(cosxxex；（D）xex2sin。8、设0limnnnu,则1nnu（）（A）收敛；（B）发散；（C）不一定；（D）绝对收敛。三、求解下列问题（共计15分）1、（7分）设gf,均为连续可微函数。)(),,(xyxgvxyxfu，3求yuxu,。2、（8分）设txtxdzzftxu)(),(，求tuxu,。四、求解下列问题（共计15分）。1、计算I2022xydyedx。（7分）2、计算dVyxI)(22，其中是由x21,222zzzy及所围成的空间闭区域（8分）五、（13分）计算LyxydxxdyI22，其中L是xoy面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点)0,0(O的封闭曲线的逆时针方向。六、（9分）设对任意)(,,xfyx满足方程)()(1)()()(yfxfyfxfyxf，且)0(f存在，求)(xf。七、（8分）求级数11212)2()1(nnnnx的收敛区间。4高等数学同济版（下册）期末考试试卷（二）1、设zyxzyx32)32sin(2，则yzxz。2、xyxyyx93lim00。3、设202),(xxdyyxfdxI，交换积分次序后，I。4、设)(uf为可微函数，且,0)0(f则222)(1lim2230tyxtdyxft。5、设L为取正向的圆周422yx，则曲线积分Lxxdyxyedxyey)2()1(。6、设kxyzjxzyiyzxA)()()(222，则Adiv。7、通解为xxececy221的微分方程是。8、设xxxf0,10,1)(，则它的Fourier展开式中的na。二、选择题（每小题2分，共计16分）。1、设函数0,00,),(2222422yxyxyxxyyxf,则在点（0，0）处（）（A）连续且偏导数存在；（B）连续但偏导数不存在；（C）不连续但偏导数存在；（D）不连续且偏导数不存在。2、设),(yxu在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满足02yxu及22xu022yu，则（）（A）最大值点和最小值点必定都在D的内部；（B）最大值点和最小值点必定都在D的边界上；（C）最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上；（D）最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上。3、设平面区域D：1)1()2(22yx，若DdyxI21)(，DdyxI32)(则有（）5（A）21II；（B）21II；（C）21II；（D）不能比较。4、设是由曲面1,,xxyxyz及0z所围成的空间区域，则dxdydzzxy32=（）（A）3611；（B）3621；（C）3631；（D）3641。5、设),(yxf在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为)()(tytx)(t，其中)(),(tt在],[上具有一阶连续导数，且0)()(22tt，则曲线积分Ldsyxf),(（）(A)dtttf))(),((；(B)dtttttf)()())(),((22；(C)dtttttf)()())(),((22；(D)dtttf))(),((。6、设是取外侧的单位球面1222zyx，则曲面积分zdxdyydzdxxdydz=（）(A)0；(B)2；(C)；(D)4。7、下列方程中，设21,yy是它的解，可以推知21yy也是它的解的方程是（）(A)0)()(xqyxpy；(B)0)()(yxqyxpy；(C))()()(xfyxqyxpy；(D)0)()(xqyxpy。8、设级数1nna为一交错级数，则（）(A)该级数必收敛；(B)该级数必发散；(C)该级数可能收敛也可能发散；(D)若)0(0nan，则必收敛。三、求解下列问题（共计15分）1、（8分）求函数)ln(22zyxu在点A（0，1，0）沿A指向点B（3，-2，2）的方向的方向导数。2、（7分）求函数)4(),(2yxyxyxf在由直线0,0,6xyyx所围成的闭区域D上的最大值和最小值。四、求解下列问题（共计15分）1、（7分）计算3)1(zyxdvI，其中是由0,0,0zyx及1zyx所围成的立体域。62、（8分）设)(xf为连续函数，定义dvyxfztF)]([)(222，其中222,0|),,(tyxhzzyx，求dtdF。五、求解下列问题（15分）1、（8分）求LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(，其中L是从A（a，0）经2xaxy到O（0，0）的弧。2、（7分）计算dxdyzdzdxydydzxI222，其中是)0(222azzyx的外侧。六、（15分）设函数)(x具有连续的二阶导数，并使曲线积分Lxdyxydxxexx)(])(2)(3[2与路径无关，求函数)(x。7高等数学同济版（下册）期末考试试卷（三）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、设yzxztdteu2，则zu。2、函数)2sin(),(yxxyyxf在点（0，0）处沿)2,1(l的方向导数)0,0(lf=。3、设为曲面0,122zyxz所围成的立体，如果将三重积分dvzyxfI),,(化为先对z再对y最后对x三次积分，则I=。4、设),(yxf为连续函数，则IDtdyxft),(1lim20，其中222:tyxD。5、Ldsyx)(22，其中222:ayxL。6、设是一空间有界区域，其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数),,(zyxP，),,(zyxQ，),,(zyxR在上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式：，该关系式称为公式。7、微分方程96962xxyyy的特解可设为*y。8、若级数11)1(npnn发散，则p。二、选择题（每小题2分，共计16分）1、设),(bafx存在，则xbxafbaxfx),(),(lim0=（）（A）),(bafx；（B）0；（C）2),(bafx；（D）21),(bafx。2、设2yxz，结论正确的是（）（A）022xyzyxz；（B）022xyzyxz；（C）022xyzyxz；（D）022xyzyxz。3、若),(yxf为关于x的奇函数，积分域D关于y轴对称，对称部分记为21,DD，),(yxf在D上连续，则Ddyxf),(（）8（A）0；（B）21),(Ddyxf；（C）41),(Ddyxf；(D)22),(Ddyxf。4、设：2222Rzyx，则dxdydzyx)(22=（）（A）538R；（B）534R；（C）5158R；（D）51516R。5、设在xoy面内有一分布着质量的曲线L，在点),(yx处的线密度为),(yx，则曲线弧Ｌ的重心的x坐标x为（）（Ａ）x=LdsyxxM),(1；（B）x=LdxyxxM),(1；（C）x=Ldsyxx),(；（D）x=LxdsM1,其中M为曲线弧Ｌ的质量。６、设为柱面122yx和1,0,0zyx在第一卦限所围成部分的外侧，则曲面积分ydxdzxxzdydzzdxdyy22＝（）（A）0；（B）4；（C）245；（D）4。７、方程)(2xfyy的特解可设为（）（A）A，若1)(xf；（B）xAe，若xexf)(；（C）EDxCxBxAx234，若xxxf2)(2；（D）)5cos5sin(xBxAx，若xxf5sin)(。８、设xxxf010,1)(，则它的Fourier展开式中的na等于（）（A）])1(1[2nn；（B）0；（C）n1；（D）n4。三、（１２分）设ttxfy),,(为由方程0),,(tyxF确定的yx,的函数，其中Ff,具有一阶连续偏导数，求dxdy。四、（８分）在椭圆4422yx上求一点，使其到直线0632yx的距离最短。五、（８分）求圆柱面yyx222被锥面22yxz和平面0z割下部分的面积Ａ。六、（１２分）计算xyzdxdyI，其中为球面1222