2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-3)练习222事件的独立性]

选修2-3第二章2.22.2.2一、选择题1．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p和q，则恰有一株成活的概率为()A．p＋q－2pqB．p＋q－pqC．p＋qD．pq[答案]A[解析]恰有一株成活的概率为p(1－q)＋(1－p)q＝p＋q－2pq，故选A.2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是()A．1425B．1225C．34D．35[答案]A[解析]P甲＝810＝45，P乙＝710，所以P＝P甲·P乙＝1425.3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A、B中至少有一件发生的概率是()A．512B．12C．712D．34[答案]C[解析]由题意P(A)＝12，P(B)＝16，事件A、B中至少有一个发生的概率P＝1－12×56＝712.4．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A．49B．29C．23D．13[答案]A[解析]设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(A)＝23，B表示；“第二个圆盘的指针落在奇数据在的区域”，则P(B)＝23.故P(AB)＝P(A)·P(B)＝23×23＝49.5．从甲袋内摸出1个白球的概率为13，从乙袋内摸出1个白球的概率是12，从两个袋内各摸1个球，那么概率为56的事件是()A．2个球都是白球B．2个球都不是白球C．2个球不都是白球D．2个球中恰好有1个白球[答案]C[解析]从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立，故两个球都是白球的概率为P1＝13×12＝16，∴两个球不都是白球的概率为P＝1－P1＝56.6．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A．12B．512C．14D．16[答案]B[解析]所求概率为23×14＋13×34＝512或P＝1－23×34－13×14＝512.二、填空题7．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A、B相互独立时，P(A∪B)＝________，P(A|B)＝________.[答案]0.650.3[解析]∵A、B相互独立，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65.P(A|B)＝P(A)＝0.3.8．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为12，乙生解出它的概率为13，丙生解出它的概率为14.由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________．[答案]1124[解析]甲生解出，而乙、丙不能解出为事件A1，则P(A1)＝12×1－13×1－14＝14，乙生解出，而甲、丙不能解出为事件A2，则P(A2)＝13×1－12×1－14＝18，丙生解出，而甲、乙不能解出为事件A3，则P(A3)＝14×1－12×1－13＝112.甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为P(A1＋A2＋A3)＝14＋18＋112＝1124.9．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．[答案]370[解析]本题考查独立事件，对立事件有关概率的基本知识以及计算方法．设加工出来的零件为次品为事件A，则A为加工出来的零件为正品．P(A)＝1－P(A)＝1－(1－170)(1－169)(1－168)＝370.三、解答题10．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112.甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．[解析](1)设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．由题设条件有PA·B＝14，PB·C＝112，PA·C＝29，即PA·[1－PB]＝14，①PB·[1－PC]＝112，②PA·PC＝29.③由①、③得P(B)＝1－98P(C)，代入②得27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0.解得P(C)＝23或119(舍去)．将P(C)＝23分别代入③、②可得P(A)＝13、P(B)＝14，即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13、14、23.(2)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则P(D)＝1－P(D)＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－23×34×13＝56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56.一、选择题11.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一个荷叶)，而且逆时针方向跳的频率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是()A．13B．29C．49D．827[答案]A[解析]由已知逆时针跳一次的概率为23，顺时针跳一次的概率为13.则逆时针跳三次停在A上的概率为P1＝23×23×23＝827，顺时针跳三次停在A上的概率为P2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A上的概率为P＝P1＋P2＝827＋127＝13.12．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是()A．35B．34C．12D．310[答案]C[解析]解法1：5个球中含3个白球，第一次取到白球后不放回，则第二次是含2个白球的4个球中任取一球，故取到白球的概率为12.解法2：设A＝“第一次取到白球”，B＝“第二次取到白球”，则P(A)＝35，P(AB)＝C23C25＝310，∴P(B|A)＝PABPA＝12.二、填空题13．(2014·湖南师大附中高二期中)某班有4位同学住在同一个小区，上学路上要经过1个路口．假设每位同学在路口是否遇到红绿灯是相互独立的，且遇到红灯的概率都是13，则最多1名同学遇到红灯的概率是__________________．[答案]1627[解析]P＝(23)4＋C14·(13)·(23)3＝1627.14．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝12k，k＝1,2，…，则P(2X≤4)等于________．[答案]316[解析]P(2X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝123＋124＝316.15．已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．[答案]－13，13[解析]由条件知，Pξ＝x3＋Pξ＝x1＝2Pξ＝x2Pξ＝x1＋Pξ＝x2＋Pξ＝x3＝1，∴P(ξ＝x2)＝13，∵P(ξ＝xi)≥0，∴公差d取值满足－13≤d≤13.三、解答题16．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6、0.4、0.5、0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手被淘汰的概率；(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率．[解析]记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i＝1,2,3,4)，则P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.5，P(A4)＝0.2.(1)方法一：该选手被淘汰的概率：P＝P(A1∪A1A2∪A1A2A3∪A1A2A3A4)＝P(A1)＋P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976.方法二：P＝1－P(A1A2A3A4)＝1－P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976.(2)方法一：P＝P(A1A2∪A1A2A3∪A1A2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576.方法二：P＝1－P(A1)－P(A1A2A3A4)＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576.17．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率；(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．[解析](1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P(A)＝C26C14＋C36C310＝60＋20120＝23，P(B)＝C28C12＋C38C310＝56＋56120＝1415.(2)方法1：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P＝P(A·B)＋P(A·B)＋P(A·B)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝23×115＋13×1415＋23×1415＝4445.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.方法2：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为P(A·B)＝P(A)·P(B)＝1－23×1－1415＝145.所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P＝1－P(A·B)＝1－145＝4445.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.18．一中食堂有一个面食窗口，假设学生买饭所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往学生买饭所需的时间统计结果如下：买饭时间(分)12345频率0.10.40.30.10.1从第一个学生开始买饭时计时．(1)估计第三个学生恰好等待4分钟开始买饭的概率；(2)X表示至第2分钟末已买完饭的人数，求X的分布列．[解析]设Y表示学生买饭所需的时间，用频率估计概率，得y的分布列如下：Y12345P0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三个学生恰好等待4分钟开始买饭”，则事件A对应三种情形：①第一个学生买饭所需的时间为1分钟，且第二个学生买饭所需的时间为3分钟；②第一个学生买饭所需的时间为3分钟，且第二个学生买饭所需的时间为1分钟；③第一个和第二个学生买饭所需的时间均为2分钟.所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)X所有可能的取值为0、1、2，X＝0对应第一个学生买饭所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y2)＝0.5X＝1对应第一个学生买饭所需的时间为1分钟且第二个学生买饭所需的时间超过1分钟或第一个学生买饭所需的时间为2分钟．所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49，X＝2对应两个学生买饭所需时间均为1分钟．所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01所以X的分布列为X012P0.50.490.01