2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习243直线与抛物线的位置关系]

第二章2.4第3课时一、选择题1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝()A．2或－2B．－1C．2D．3[答案]C[解析]由y2＝8xy＝kx－2得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，则4k＋2k2＝4，即k＝2.2．抛物线y＝14x2的焦点关于直线x－y－1＝0的对称点的坐标是()A．(2，－1)B．(1，－1)C．(14，－14)D．(116，－116)[答案]A[解析]y＝14x2⇒x2＝4y，焦点为(0,1)，其关于x－y－1＝0的对称点为(2，－1)．3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点O为坐标原点，则OA→·OB→的值是()A．12B．－12C．3D．－3[答案]D[解析]设A(y214，y1)，B(y224，y2)，则OA→＝(y214，y1)，OB→＝(y224，y2)，则OA→·OB→＝(y214，y1)·(y224，y2)＝y21y2216＋y1y2，又∵AB过焦点，则有y1y2＝－p2＝－4，∴OA→·OB→＝y1y2216＋y1y2＝－4216－4＝－3，故选D.4．过抛物线y2＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在[答案]B[解析]由定义|AB|＝5＋2＝7，∵|AB|min＝4，∴这样的直线有两条．5．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是()A．1B．2C.58D．158[答案]D[解析]如图所示，设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A′，Q，B′，由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝|AA′|＋|BB′|2＝2，又|PQ|＝y0＋18，∴y0＋18＝2，∴y0＝158.6．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FA→＋FB→＋FC→＝0，则|FA→|＋|FB→|＋|FC→|等于()A．9B．6C．4D．3[答案]B[解析]设A、B、C三点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)．由题意知F(1,0)，因为FA→＋FB→＋FC→＝0，所以x1＋x2＋x3＝3.根据抛物线定义，有|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝3＋3＝6.故选B.二、填空题7．已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2m时，量得水面宽8m，当水面升高1米后，水面宽度是________m.[答案]42[解析]设抛物线拱桥的方程为x2＝－2py，当顶点距水面2m时，量得水面宽8m，即抛物线过点(4，－2)代入方程得16＝4p，∴p＝4，则抛物线方程是x2＝－8y，水面升高1m时，即y＝－1时，x＝±22.则水面宽为42m.8．(2014·吉林省吉林市二模)已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值是__________________．[答案]213[解析]由|AF|＝4及抛物线定义得A到准线的距离为4.∴A点横坐标为－2，∴A(－2,4).又原点关于准线的对称点的坐标为B(4,0)，所以|PA|＋|PO|的最小值为：|AB|＝36＋16＝213.三、解答题9．设抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上且BC∥x轴，证明直线AC经过原点O.[解析]因为抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F(p2，0)，所以经过点F的直线AB的方程设为：x＝my＋p2代入抛物线方程得：y2－2pmy－p2＝0若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1、y2是该方程的两个根，所以y1y2＝－p2因为BC∥x轴，且点C在准线x＝－p2上，所以点C的坐标为(－p2，y2)，故直线CO的斜率为：k＝y2－p2＝2py1＝y1x1，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点．10．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．(1)求证：OA⊥OB；(2)当△OAB的面积等于10时，求k的值．[解析](1)如图所示，由y2＝－xy＝kx＋1消去x得，ky2＋y－k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1·y2＝－1，y1＋y2＝－1k.∵A，B在抛物线y2＝－x上，∴y21＝－x1，y22＝－x2，∴y21·y22＝x1x2.∵kOA·kOB＝y1x1·y2x2＝y1y2x1x2＝1y1y2＝－1，∴OA⊥OB.(2)设直线与x轴交于点N，显然k≠0.令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)．∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝12|ON||y1|＋12|ON||y2|＝12|ON|·|y1－y2|，∴S△OAB＝12·1·y1＋y22－4y1y2＝12－1k2＋4.∵S△OAB＝10，∴10＝121k2＋4，解得k＝±16.一、选择题11．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于()A.3B．2C．5D．6[答案]C[解析]双曲线的渐近线方程为y＝±bax.∵渐近线与y＝x2＋1相切，∴x2＋bax＋1＝0有两相等根，∴Δ＝b2a2－4＝0，∴b2＝4a2，∴e＝ca＝c2a2＝a2＋b2a2＝5.12．(2014·长春市期末调研)抛物线y2＝9x与直线2x－3y－8＝0交于A，B两点，则线段AB中点的坐标为()A．(1138，－274)B．(1138，274)C．(－1138，－274)D．(－1138，274)[答案]B[解析]由2x－3y－8＝0得，x＝32y＋4，代入y2＝9x中得y2－272y－36＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为(x0，y0)，则y0＝y1＋y22＝274，x0＝x1＋x22＝12(32y1＋4＋32y2＋4)＝34(y1＋y2)＋4＝32y0＋4＝1138，故选B.13．已知直线y＝k(x＋2)(k0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝()A.13B．23C.23D．223[答案]D[解析]设A、B两点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由y＝kx＋2y2＝8x消去y得，k2x2＋4x(k2－2)＋4k2＝0，∴x1＋x2＝42－k2k2，x1x2＝4.由抛物线定义得|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2，又∵|AF|＝2|BF|，∴x1＋2＝2x2＋4，∴x1＝2x2＋2代入x1x2＝4，得x22＋x2－2＝0，∴x2＝1或－2(舍去)，∴x1＝4，∴42－k2k2＝5，∴k2＝89，∵k0，∴k＝223.二、填空题14．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，M是这条抛物线上的一个动点，P(3,1)是一个定点，则|MP|＋|MF|的最小值是______________________．[答案]4[解析]过P作垂直于准线的直线，垂足为N，交抛物线于M，则|MP|＋|MF|＝|MP|＋|MN|＝|PN|＝4为所求最小值．15．在已知抛物线y＝x2上存在两个不同的点M、N关于直线y＝kx＋92对称，则k的取值范围为________．[答案]k14或k－14[解析]设M(x1，x21)，N(x2，x22)关于直线y＝kx＋92对称，∴x21－x22x1－x2＝－1k，即x1＋x2＝－1k.设MN的中点为P(x0，y0)，则x0＝－12k，y0＝k×(－12k)＋92＝4.因中点P在y＝x2内，有4(－12k)2⇒k2116，∴k14或k－14.三、解答题16．已知抛物线y2＝6x的弦AB经过点P(4,2)，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求弦AB的长．[解析]由A、B两点在抛物线y2＝6x上，可设A(y216，y1)，B(y226，y2)．因为OA⊥OB，所以OA→·OB→＝0.由OA→＝(y216，y1)，OB→＝(y226，y2)，得y21y2236＋y1y2＝0.∵y1y2≠0，∴y1y2＝－36，①∵点A、B与点P(4,2)在一条直线上，∴y1－2y216－4＝y1－y2y216－y226，化简得y1－2y21－24＝1y1＋y2，即y1y2－2(y1＋y2)＝－24.将①式代入，得y1＋y2＝－6.②由①和②，得y1＝－3－35，y2＝－3＋35，从而点A的坐标为(9＋35，－3－35)，点B的坐标为(9－35，－3＋35)，所以|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝610.17．已知抛物线C：y2＝2px(p0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于55？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．[解析](1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，∴p＝2.故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t由y＝－2x＋t，y2＝4x.消去x得y2＋2y－2t＝0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－12.另一方面，由直线OA与l的距离d＝55，可得|t|5＝15，解得t＝±1.综上知：t＝1.所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.