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第三章3.2第1课时一、选择题1．若平面α、β的法向量分别为a＝12，－1，3，b＝(－1，2，－6)，则()A．α∥βB．α与β相交但不垂直C．α⊥βD．α∥β或α与β重合[答案]D[解析]∵b＝－2a，∴b∥a，∴α∥β或α与β重合．2．直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2，3,2)，则()A．l1∥l2B．l1与l2相交，但不垂直C．l1⊥l2D．不能确定[答案]C[解析]∵a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2．3．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面()A．xOy平行B．xOz平行C．yOz平行D．yOz相交[答案]C[解析]∵AB→＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，∴AB→∥平面yOz．4．在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，给出下列结论：①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)；③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)；④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)．其中正确的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]C[解析]DD1∥AA1，AA1→＝(0,0,1)；BC1∥AD1，AD1→＝(0,1,1)，直线AD⊥平面ABB1A1，AD→＝(0,1,0)；C1点坐标为(1,1,1)，AC1→与平面B1CD不垂直，∴④错．5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AB、CC1、A1D1、C1D1的中点，下列结论中，错误的是()A．A1E⊥AC1B．BF∥平面ADD1A1C．BF⊥DGD．A1E∥CH[答案]A[解析]设正方体棱长为1，以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，E(1，12，0)，C(0,1,0)，F(0,1，12)，C1(0,1,1)，H(0，12，1)，G(12，0,1)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，∴A1E→＝(0，12，－1)，AC1→＝(－1,1,1)，BF→＝(－1,0，12)，DG→＝(12，0,1)，CH→＝(0，－12，1)．平面ADD1A1的一个法向量为v＝(0,1,0)，∴A1E→·AC1→＝－12，BF→·v＝0，BF→·DG→＝0，A1E→＝－CH→．∴B、C、D成立，A不成立，故选A．6．对于任意空间向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，给出下列三个命题：①a∥b⇔a1b1＝a2b2＝a3b3；②若a1＝a2＝a3＝1，则a为单位向量；③a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．其中真命题的个数为()A．0B．1C．2D．3[答案]B[解析]由a1b1＝a2b2＝a3b3⇒a∥b，反之不一定成立，故①不正确；②显然错误；③是正确的，故选B．二、填空题7．平面α的法向量u＝(x,1，－2)，平面β的法向量v＝－1，y，12，已知α∥β，则x＋y＝__________．[答案]154[解析]∵α∥β，∴u∥v，∴x－1＝1y＝－212，∴x＝4，y＝－14，∴x＋y＝154．8．直线l1与l2不重合，直线l1的方向向量v1＝(－1,1,2)，直线l2的方向向量为v2＝(2,0,1)，则直线l1与l2的位置关系是__________．[答案]垂直[解析]∵v1·v2＝－2＋0＋2＝0，∴v1⊥v2．∴l1⊥l2，三、解答题9．如图所示，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，∠PDA＝θ，能否确定θ，使直线MN是直线AB与PC的公垂线？若能确定，求出θ的值；若不能确定，说明理由．[解析]以点A为原点建立空间直角坐标系A－xyz，设|AD|＝2a，|AB|＝2b，∠PDA＝θ，则A(0,0,0)、B(0,2b,0)、C(2a,2b,0)、D(2a,0,0)、P(0,0,2atanθ)、M(0，b,0)、N(a，b，atanθ)．∴AB→＝(0,2b,0)，PC→＝(2a,2b，－2atanθ)，MN→＝(a,0，atanθ)．∵AB→·MN→＝(0,2b,0)·(a,0，atanθ)＝0，∴AB→⊥MN→，即AB⊥MN．若MN⊥PC，即MN→·PC→＝(a,0，atanθ)·(2a,2b，－2atanθ)＝2a2－2a2tan2θ＝0，则tan2θ＝1，而θ是锐角，∴tanθ＝1，θ＝45°．即当θ＝45°时，直线MN是直线AB与PC的公垂线．10．已知四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC．[证明]证法1：先将已知条件转化为AB→·CD→＝0，AC→·BD→＝0，再证明AD→·BC→＝0．∵AB⊥CD，AC⊥BD，∴AB→·CD→＝0，AC→·BD→＝0．∴AD→·BC→＝(AB→＋BD→)·(AC→－AB→)＝AB→·AC→＋BD→·AC→－AB→2－AB→·BD→＝AB→·AC→－AB→2－AB→·BD→＝AB→·(AC→－AB→－BD→)＝AB→·DC→＝0．∴AD→⊥BC→，从而AD⊥BC．证法2：设DA→＝a，DB→＝b，DC→＝c，∵AB⊥CD，∴AB→·CD→＝(b－a)·(－c)＝a·c－b·c＝0，∴a·c＝b·c；∵AC⊥BD，∴AC→·BD→＝(c－a)·(－b)＝a·b－b·c＝0，∴a·b＝b·c；∴a·c＝a·b，∴AD→·BC→＝(－a)·(c－b)＝a·b－a·c＝0，∴AD⊥BC．一、选择题11．已知空间四边形ABCD中，AC＝BD，顺次连接各边中点P、Q、R、S，如下图，所得图形是()A．长方形B．正方形C．梯形D．菱形[答案]D[解析]∵PQ→＝BQ→－BP→＝12BC→－12BA→＝12AC→．同理SR→＝12AC→，∴PQ→＝SR→，∴四边形PQRS为平行四边形，又∵PS→＝AS→－AP→＝12AD→－12AB→＝12BD→，∴|PS→|＝12|BD→|，即PS＝12BD，又|PQ→|＝12|AC→|，∴PQ＝12AC，∵AC＝BD，∴PS＝PQ，∴四边形ABCD为菱形．12．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中在平面α内的是()A．(1，－1,1)B．(1,3，32)C．(1，－3，32)D．(－1,3，－32)[答案]B[解析]对于选项A，PA→＝(1,0,1)，PA→·n＝5，∴PA→与n不垂直，排除A；同理可排除C、D．对于选项B，有PA→＝(1，－4，12)，∴PA→·n＝0，∴选B．二、填空题13．已知空间直角坐标系O－xyz中的点A(1,1,1)，平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点，则点P的坐标满足的条件为__________．[答案]x＋y＋z＝3[解析]由题意知，OA⊥α，直线OA的方向向量OA→＝(1,1,1)，因为P∈α，∴OA→⊥AP→，∴(1,1,1)·(x－1，y－1，z－1)＝0，∴x＋y＋z＝3．14．(2013·清华附中月考)在空间直角坐标系O－xyz中，已知A(1，－2,3)，B(2,1，－1)，若直线AB交平面xOz于点C，则点C的坐标为__________．[答案](53，0，13)[解析]设点C的坐标为(x,0，z)，则AC→＝(x－1,2，z－3)，AB→＝(1,3，－4)，因为AC→与AB→共线，所以x－11＝23＝z－3－4，解得x＝53z＝13，所以点C的坐标为(53，0，13)．三、解答题15．设a，b分别是不重合的直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系；(1)a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)；(2)a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)；(3)a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)．[解析](1)∵a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)，∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2．(2)∵a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)，∴a·b＝0，a⊥b，∴l1⊥l2．(3)∵a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)，∴a与b不共线也不垂直．∴l1与l2相交或异面．16．在正四棱锥P－ABCD中，底面正方形边长为32，棱锥的侧棱长为5，E、F、G分别为BC、CD、PC的中点，用向量方法证明下列问题．(1)EF⊥PA；(2)EF∥平面PBD；(3)直线PA与平面EFG不平行．[解析]设AC与BD的交点为O，∵P－ABCD为正四棱锥，∴PO⊥平面ABCD，且AC⊥BD，以O为原点，OB，OC、OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，∵正方形ABCD边长为32，∴OB＝OC＝3，又PC＝5，∴OP＝4，∴A(0，－3,0)，B(3,0,0)，C(0,3,0)，D(－3,0,0)，P(0，0,4)．(1)∵E、F分别为BC、CD的中点，∴E(32，32，0)，F(－32，32，0)，∴EF→＝(－3,0,0)，PA→＝(0，－3，－4)，EF→·PA→＝0，∴EF⊥PA．(2)显然OC→＝(0,3,0)为平面PBD的一个法向量，∵EF→·OC→＝0，∴EF∥平面PBD．(3)∵G为PC中点，∴G(0，32，2)，设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，则n·EF→＝0，n·EG→＝0，∴－3x＝0，－32x＋2z＝0.∴x＝0，z＝0.取n＝(0,1,0)，∵n·PA→＝－3≠0，∴PA与平面EFG不平行．