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第三章§4一、选择题1．(2014·微山一中高二期中)用反证法证明命题“如果ab0，那么a2b2”时，假设的内容应是()A．a2＝b2B．a2b2C．a2≤b2D．a2b2，且a2＝b2[答案]C2．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于()A．0B．13C．12D．1[答案]B[解析]三个数a、b、c的和为1，其平均数为13，故三个数中至少有一个大于或等于13.假设a、b、c都小于13，则a＋b＋c1，与已知矛盾．3．(2013·浙江余姚中学高二期中)用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是()A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个是偶数[答案]B[解析]“至少有一个”的对立面是“一个都没有”．4．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面[答案]B[解析]对于A，若存在直线n，使n∥l且n∥m，则有l∥m，与l，m异面矛盾；对于C，过点P与l，m都相交的直线不一定存在，反例如图(l∥α)；对于D，过点P与l，m都异面的直线不唯一．5．若m、n∈N*，则“ab”是“am＋n＋bm＋nanbm＋ambn”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]D[解析]am＋n＋bm＋n－anbm－ambn＝an(am－bm)＋bn(bm－am)＝(am－bm)(an－bn)0⇔ambmanbn或ambmanbn，不难看出ab⇒/am＋n＋bm＋nambn＋anbm，am＋n＋bm＋nambn＋bman⇒/ab.6．若ab0，则下列不等式中总成立的是()A．a＋1bb＋1aB．bab＋1a＋1C．a＋1ab＋1bD．2a＋ba＋2bab[答案]A[解析]可通过举反例说明B、C、D均是错误的，或直接论证A选项正确．二、填空题7．“x＝0且y＝0”的否定形式为________．[答案]x≠0或y≠0[解析]“p且q”的否定形式为“¬p或¬q”．8．和两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、BD的位置关系是________．[答案]异面[解析]假设AC与BD共面于平面α，则A、C、B、D都在平面α内，∴AB⊂α，CD⊂α，这与AB、CD异面相矛盾，故AC与BD异面．9．在空间中有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③垂直于同一直线的两直线平行；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中真命题是________．[答案]①[解析]四点中若有三点共线，则这条直线与另外一点必在同一平面内，故①真；四点中任何三点不共线，这四点也可以共面，如正方形的四个顶点，故②假；正方体交于同一顶点的三条棱所在直线中，一条与另两条都垂直，故③假；空间四边形ABCD中，可以有AB＝CD，AD＝BC，例如将平行四边形ABCD沿对角线BD折起构成空间四边形，这时它的两组对边仍保持相等，故④假．三、解答题10．实数a、b、c、d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd1.求证：a、b、c、d中至少有一个是负数．[解析]假设a、b、c、d都是非负数．则1＝(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd，即ac＋bd≤1.这与已知ac＋bd1矛盾，所以假设不成立．故a、b、c、d中至少有一个是负数．[点评]该命题中含有“至少”字样，故想到用反证法来证明，又因为已知中有ac＋bd1这一条件，要想构造出ac＋bd，需用(a＋b)乘以(c＋d)．一、选择题11．(2013·山东青岛二中高二期中)用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°”，反证假设正确的是()A．假设三内角都大于60°B．假设三内角都不大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°[答案]B12．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR0”是P、Q、R同时大于零的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案]C[解析]若P0，Q0，R0，则必有PQR0；反之，若PQR0，也必有P0，Q0，R0.因为当PQR0时，若P、Q、R不同时大于零，则P、Q、R中必有两个负数，一个正数，不妨设P0，Q0，R0，即a＋bc，b＋ca，两式相加得b0，这与已知b∈R＋矛盾，因此必有P0，Q0，R0.13．若x、y0且x＋y2，则1＋yx和1＋xy的值满足()A.1＋yx和1＋xy中至少有一个小于2B.1＋yx和1＋xy都小于2C.1＋yx和1＋xy都大于2D．不确定[答案]A[解析]假设1＋xy≥2和1＋yx≥2同时成立．因为x0，y0，∴1＋x≥2y且1＋y≥2x，两式相加得1＋x＋1＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2，这与x＋y2相矛盾，因此1＋yx和1＋xy中至少有一个小于2.二、填空题14．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为______________．[答案]③①②[解析]由反证法证明的步骤知，先反设即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.15．用反证法证明命题：“若a、b是实数，且|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”时，应作的假设是________．[答案]假设a≠1或b≠1[解析]结论“a＝b＝1”的含义是a＝1且b＝1，故其否定应为“a≠1或b≠1”．16．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是________．[答案]丙[解析]若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．三、解答题17已知非零实数a、b、c构成公差不为0的等差数列，求证：1a，1b，1c不能构成等差数列．[解析]假设1a，1b，1c能构成等差数列，则2b＝1a＋1c，于是得bc＋ab＝2ac.①而由于a、b、c构成等差数列，即2b＝a＋c.②所以由①②两式得，(a＋c)2＝4ac，即(a－c)2＝0，于是得a＝b＝c，这与a，b，c构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，因此1a，1b，1c不能构成等差数列．18．用反证法证明：已知a、b均为有理数，且a和b都是无理数，求证：a＋b是无理数．[解析]解法一：假设a＋b为有理数，令a＋b＝t，则b＝t－a，两边平方，得b＝t2－2ta＋a，∴a＝t2＋a－b2t.∵a、b、t均为有理数，∴t2＋a－b2t也是有理数．即a为有理数，这与已知a为无理数矛盾．故假设不成立．∴a＋b一定是无理数．解法二：假设a＋b为有理数，则(a＋b)(a－b)＝a－b.由a0，b0，得a＋b0.∴a－b＝a－ba＋b.∵a、b为有理数，即a－b为有理数．∴a－ba＋b为有理数，∴a－b为有理数．∴(a＋b)＋(a－b)为有理数，即2a为有理数．从而a也就为有理数，这与已知a为无理数矛盾，∴a＋b一定为无理数．