2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案第20讲共点共线共圆问题

第20讲共点、共线与共圆问题本节主要内容有共点、共线与共圆概念及常用证明方法．所谓共点，指n条(n≥3)直线经过同一点．或n个(n≥3)圆经过同一点;共线，指的三个及以上的点在同一条直线上;共圆，指不在一条直线上的三点确定一个圆,以及有四点或四个以上的点在同一个圆上．证明中常用到Menelaus定理、Ceva定理、Fermat点、Simson线、Euler线、四点共圆等知识．A类例题例1设线段AB的中点为C，以AC为对角线作平行四边形AECD、BFCG，又作平行四边形CFHD、CGKE，求证：H、C、K三点共线．分析C为AB中点，若C为HK的中点，则AKBH为平行四边形．反之，若平行四边形成立，则H、C、K共线．证明连AK、DG、BH．∵AD∥EC∥KG，AD＝EC＝KG，∴四边形AKGD是平行四边形．∴AK∥GD，AK＝GD．同理，BH∥GD，BH＝GD，∴BH∥AK，BH＝AK，∴四边形AKBH是平行四边形．故AB、HK互相平分，即HK经过AB的中点C．∴H、C、K三点共线．说明证明具有特殊的性质的几个点共线．链接点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零；还可以利用Menelaues定理及其逆定理证明三点共线等．n(n≥4)点共线可转化为三点共线．例2求证：过圆内接四边形各边中点向对边所作的四条垂线，交于一点．分析画出图形，是必要的，可以研究一下两条垂线的交点的性质，不难发现证明的方法．证明若ABCD是特殊图形(矩形、等腰梯形)，易知结论成立．如图，设圆内接四边形ABCD的对边互不平行．E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，EE'⊥CD，FF'⊥DA，GG'⊥AB，HH'⊥BC，垂足分别为E'，F'，G'，H'．设EE'与GG'交于点P．∵E为AB中点，∴OE⊥AB，∴OE∥EE'．同理，OG∥EE'．∴OEPG为平行四边形．∴OP、EG互相平分．即OP经过EG中点M．同理，设FF'与HH'交于Q，则OQ经过FH中点N．∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴EFGH是平行四边形，∴EG、FH互相平分，即EG的中点就是FH的中点于是M与N重合．∴OP、OQ都经过点M且OP＝OQ＝2OM．∴P、Q重合，即四条垂线交于一点．说明本题利用了两条直线的交点具有某种性质来证明三线共点．链接证明线共点还可用有关定理(如三角形的3条高线交于一点、Ceva定理及逆定理等)，或证明第3条直线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明．KHGEFBCDAMQH'E'F'G'POHGFEDCBA例3⊙O1与⊙O2相交于点A、B，P为BA延长线上一点，割线PCD交⊙O1于C、D，割线PEF交⊙O2于E、F，求证：C、D、E、F四点共圆．分析可以通过C、D、E、F连成的四边形的对角互补或四边形的外角等于内对角来证明．证明链接CE、DF，PC·PD=PA·PB=PE·PF．于是，ΔPCE∽ΔPFD，∴∠PEC=∠PDF．∴C、D、E、F共圆．链接证明共圆常用的方法有：证明几个点与某个定点距离相等；如果某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等；证明凸四边形对角互补(或外角等于内对角)．(特别的，如果几个点对同一条线段张角为直角，则这几个点在以这条线段为直径的圆上．)证明这四点可以满足圆幂定理．情景再现1．⊙I内切于⊿ABC，D为BC上的切点，M、N分别为AD、BC的中点，求证：M、I、N三点共线．2.证明三角形的三条高所在直线交于一点；三条中线交于一点；三条角平分线交于一点．3.设PQ、QR是⊙O的内接正九边形的相邻两边．A为PQ中点，B为垂直于QR的半径的中点．求∠BAO．B类例题例4设等腰三角形ABC的两腰AB、AC分别与⊙O切于点D、E，从点B作此圆的切线，其切点为F，设BC中点为M，求证：E、F、M三点共线．分析显然此圆和三角形的位置需要分情况讨论，要证明E、F、M三点共线，可以证明连线成角为0或180，于是有下面的证明．证明∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∴直线AO是∠BAC的平分线．故AO所在直线通过点M．∴∠OMB＝90，又∠ODB＝90，∴D、O、M、B四点共圆．∴∠DFM＝∠DOM．且∠ABM＋∠DOM＝180．∵∠DFE＝12∠DOE＝∠ABM．∴∠DFE＋∠DFM＝180．∴E、F、M共线．如果切点F在三角形外，则由D、B、F、M、O共圆，得∠DFM＝∠DBM．而∠DBM＝∠AOD＝12∠DOE＝∠DFE．∴∠DFM＝∠DFE．∴F、M、E共线．说明证明三点共线常证明连线成角为0或180．例5以锐角△ABC的BC边上的高AH为直径作圆，分别交AB、ACOMFEDCBADABCEFMOPABCDEFOO21ODNMHCBA于M、N，过A作直线lA⊥MN，用同样的方法作出直线lB，lC，求证：lA、lB、lC交于一点．分析如果能证明这三条直线都经过三角形的外心，则此三线共点．证明取△ABC的外接圆O，连HN，DB．则∠CAD与∠MNH都是∠ANM的余角，∴∠MNH＝∠CAD，∵∠MNH＝∠MAH，∠CAD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠MAH，∵∠BAH＋∠ABH＝90，∴∠CBD＋∠CBA＝90．∴lA是⊙O的直径．即AB过⊙O的圆心O．同理lB、lC都过点O．即lA、lB、lC交于一点．链接利用某些特殊点证明三线共点是常用的方法，三角形的五心是经常用到的．对于三角形的五心的性质，同学们可以参见第十七讲的内容．例6在ΔABC的边AB、BC、CA上分别取点D、E、F，使DE=BE，EF=EC．证明：ΔADF的外接圆圆心在∠DEF的平分线上．分析设O为ΔADF的外接圆圆心，于是OA=OD=OF．若EO是∠DEF的平分线，则出现了等线段对等角的情况，这在圆中有此性质．故应证明O、D、E、F共圆．证明∵EC=EF，∴∠2=180－2∠C，同理，∠1=180－2∠B，∴∠DEF=180－∠1－∠2=2(∠B+∠C)－180=2(180－∠A)－180=180－2∠A．但O为ΔADF的外接圆圆心，∴∠DOF=2∠A，∴∠DEF+∠DOF=180，∴O、D、E、F四点共圆．但OD=OF，∴∠DEO=∠OEF，即O在∠DEF的角平分线上．情景再现4.菱形ABCD中，∠A=120°，○·O为△ABC外接圆，M为其上一点，连接MC交AB于E，AM交CB延长线于F．求证：D，E，F三点共线．5．设P、Q、R分别为△ABC的外接圆O上弧BC、CA、AB的中点．PR、PQ分别交AB、AC于点D、E，求证：DE∥BC．6．以△ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ABDE、ACFG，△ABC的高为AH，求证：AH、BF、CD三线交于一点．7.如图，两个正三角形ΔEFG与ΔE'F'G'都内接于正方形ABCD，求证：EE'GG'是平行四边形．CBADFEO12GEFDABCE'F'G'MFDHGECBAOAFDCBEMOEDRQPCBAC类例题例7设AD、BE、CF为△ABC的三条高，从点D引AB、BE、CF、AC的垂线DP、DQ、DR、DS，垂足分别为P、Q、R、S，求证：P、Q、R、S四点共线．分析这里有多个四点共圆，又有多个垂线．四点共圆，可以看成圆的内接三角形与圆上一点．故适用于Simson线．证明设H为垂心．由∠HDB＝∠HFB＝90，∴H、D、B、F四点共圆．∵DP⊥BF，DQ⊥BH，DR⊥HF，P、Q、R分别为垂足．∴P、Q、R共线，(△HBF的Simson线)．同理，Q、R、S共线(△CEH的Simson线)．∴P、Q、R、S共线．说明利用几何名定理（Simson线等）证明三点共线是常用方法．链接(Simson线)设P是△ABC的外接圆上(异于A、B、C)一点，PX⊥BC，PY⊥CA，PZ⊥AB，垂足分别为X、Y、Z，则X、Y、Z共线．例8设A1、B1、C1是直线l1上三点，A2、B2、C2是直线l2上三点．A1B2与A2B1交于L，A1C2与A2C1交于M，B1C2与B2C1交于N，求证：L、M、N三点共线．分析图中有许多三点共线，可以利用这些三点共线来证明L、M、N三点共线．所以可以选定一个三角形，这个三角形的三边上分别有L、M、N三点．设A1C2与A2B1、B2C1交于P、Q，A2B1与B2C1交于R．则只要证明PMMQ·QNNR·RLLP=1，则由Menelaues定理的逆定理可证明L、M、N三点共线．证明A2C1截△PQR得，PMMQ·QC1C1R·RA2A2P=1，B1C2截△PQR得，QNNR·RB1B1P·PC2C2Q=1，A1B2截△PQR得，RLLP·PA1A1Q·QB2B2R=1，l1截△PQR得，PB1B1R·RC1C1Q·QA1A1P=1，l2截△PQR得，RB2B2Q·QC2C2P·PA2A2R=1．五式相乘，即得PMMQ·QNNR·RLLP=1，从而L、M、N三点共线．说明本题利用了Menelaues定理及其逆定理证明三点共线．SRQPFEDCBARQPl2l1NMLC2B2A2C1B1A1YZXPCBA链接证明三点共线和三线共点常用以下两个定理：(Menelaues定理)X、Y、Z是△ABC的三边BC、CA、AB所在直线上的三点，则X、Y、Z三点共线的充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．(Ceva定理)X、Y、Z是△ABC的三边BC、CA、AB上三点，，则AX、BY、CZ三线共点的充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．同学们可参见本书第十八、十九讲的内容．例9四边形内接于⊙O，对角线AC、BD交于点P，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的外接圆圆心分别为O1、O2、O3、O4，求证：OP、O1O3、O2O4共点．(1990年全国联赛)证明∵O为⊿ABC的外心，∴OA=OB．∵O1为⊿PAB的外心，∴O1A=O1B．∴OO1⊥AB．作⊿PCD的外接圆⊙O3，延长PO3与所作圆交于点E，并与AB交于点F，连DE，则1=2=3，EPD=BPF，∴PFB=EDP=90．∴PO3⊥AB，即OO1∥PO3．同理，OO3∥PO1．即OO1PO3是平行四边形．∴O1O3与PO互相平分，即O1O3过PO的中点．同理，O2O4过PO中点．∴OP、O1O3、O2O4三直线共点．例10ΔABC是等腰三角形，AB=AC，若M是BC的中点，O是直线AM上的点，使OB⊥AB；Q是BC上不同于B、C的任一点；E在直线AB上，F在直线AC上，使E、Q、F不同且共线．求证：OQ⊥EF当且仅当QE=QF．分析证明“当且仅当”时，既要由已知OQ⊥EF证明QE=QF，也要由QE=QF证明OQ⊥EF．证明连OE、OF、OC先证OQ⊥EFQE=QF．OB⊥AB,OQ⊥QEO、Q、B、E四点共圆∠OEQ=∠OBM．由对称性知OC⊥CA，OQ⊥QFO、Q、F、C四点共圆∠OFQ=∠OCQ，又∠OBC=∠OCB∠OEF=∠OFEOE=OFQE=QF．再证QE=QFOQ⊥EF．（用同一法）过Q作EF⊥OQ，交AB于E，交AC于F．由上证，可得QE=QF．若EF与EF不重合，则EF与EF互相平分于Q，则EEFF为平行四边形，EE∥FF，这与AB不与AC平行矛盾．从而EF与EF重合．情景再现8．以△ABC的三边为边向形外作正方形ABDE、BCFG、ACHK，设L、M、N分别为YXzCBAOOABCDP1OOO234EF123ABCMOQEFPAYCXBzDE、FG、HK的中点．求证：AM、BN、CL交于一点．9．如图，已知两个半径不相等的圆⊙O1，⊙O2相交于M、N两点，⊙O1，⊙O2分别与⊙O内切于点S、T，求证：OM⊥MN的充要条件是S、N、T三点共线．10．给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q四点共圆.