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第十九讲不定方程我们把未知数的个数多于方程的个数、且未知数受到某些限制（整数、正整数）的方程（组）称之为不定方程（组）。通常不定方程（组）问题有三种类型：（1）判断不定方程（组）是否有解；（2）求不定方程（组）的解；（3）计算不定方程（组）的解的个数。本讲主要学习二元一次不定方程（组）、基本二次型不定方程的解法和处理不定方程问题的一些常用知识和方法。A类例题例1．求不定方程11x+15y=7的整数解。分析注意到(11,15)=1，则存在惟一的一对整数u，v，使得11u+15v=1，x=7u、y=7v就是方程的一组特解，整数u，v可以通过观察试验得到，也可以用转辗相除法求得。若t是整数，则x=7u+15t，y=7v－11t也是方程的解。可以证明方程11x+15y=7的每一个整数解都能化为这种形式，x=7u+15t，y=7v－11t，(t∈Z)是方程的一般解，称为通解。解∵(11,15)|7,∴方程有解。∵15=11×1+4，11=4×2+3，4=3×1+1。∴11×(-4)+15×3=1,即11×(-28)+15×21=7,故方程的解为：.1121,1528tytx（t为任意整数）。说明求不定方程ax+by=c的整数解，先看(a，b)|c是否成立，不成立则方程无整数解，成立则可以先求方程的一组特解，然后写出方程的通解。例2．求不定方程2x+3y+5z=15的正整数解。分析比例1的方程多一个未知数，可以判断方程有整数解，若求方程的整数解，可以考虑令w=2x+3y，先求不定方程w+5z=15的整数解，再把w的每一个值代入2x+3y=w求解方程。一般情况可以参考链接。但这里求的是方程的正整数解，x，y，z的可取值范围较小，如z只能取1、2两个值，可先考虑范围后讨论求解。解因为(2,3,5)=1，所以方程有整数解。令u=x+2z,得2u+3y+z=15,故z=15-2u-3y,x=u-2z=5u+6y-30,其中u,y是任意整数，且x0,z0,即5u+6y-300,………①15-2u-3y0,………②由上述两式消去u得：-3y+150,从而0y5,即y=1,2,3,4.链接对于二元一次不定方程ax+by=c,a，b，c∈Z，ab≠0有下述结论：(1)方程有整数解的充分必要条件是：(a，b)|c；(2)若方程组有一组正整数解x0，y0，则它的所有正整数解可表示为：00,(,),(,)bxxtabayytab(其中t∈Z)——通常可以在方程两边同时除以(a，b)，使得x，y的系数互质。(3)若(a，b)=1,且x0，y0为不定方程ax+by=c的一个解，则方程的一切解都可以表示成：.,,,0000atyybtxxatyybtxx或(t∈Z)。其中(x0，y0)是方程ax+by=c的一个特解，t是任意整数。(4)n元一次不定方程a1x1+a2x2+…+anxn=c(a1,a2,…,an,c∈Z)有解的充分必要条件是(a1,a2,…,an)|c。当y=1时，由①，②解得245＜u＜6，故u=5,从而由2u+3y+z=15，z=2，故x=1。即有解x=1，y=1，z=2。当y=2时，同理得u=4，x=2，z=1。即有解x=2，y=2，z=1。当y=3或4时，满足①，②的整数u不存在。于是不定方程的正整数解为：(1,1,2),(2,2,1)。说明请读者先讨论z的取值范围，分别在z取1或2时解二元不定方程。另外建议用链接的方法先求出正整数解，而后再求正整数解。例3．解不定方程组.443,24275zyxzyx分析两个方程可以消去未知数z，得到关于x，y的方程，解二元一次不定方程，把解代入方程组中的一个，求出z的解即可。解由.443,24275zyxzyx消去z得：13x+13y=52,即x+y=4.观察得方程x+y=4的一个特解是x0=0,y0=4.故其通解为：.4,tytx(t是整数)链接解n元一次不定方程a1x1+a2x2+…+anxn=c时，可先顺次求出(a1,a2)=d2，(d2,a3)=d3，…(dn-1,an)=dn。若dnc，则方程无解；若dn|c，则方程有解，作方程组a1x1+a2x2=d2t2，d2t2+a3x3=d3t3，……dn-2tn-2+an-1xn-1=dn-1tn-1，dn-1tn-1+anxn=c。求出最后一个方程的一切解，然后把tn-1的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，再把tn-2的每一个值代入倒数第三个方程，求出它的一切解，…，这样做下去即可得到方程的一切解。代入5x+7y+2z=24得z=-2+t,故原方程的通解为tztytx2,4,(t是整数)。说明对于m个n元一次不定方程组(mn)成的方程组，可以消去m－1个未知数，从而也消去了m－1个不定方程式，将方程组转化为一个n－m+1元的一次不定方程。例4．求满足方程2x2+5y2=11(xy－11)的正整数数组(x，y)。分析二次不定方程，常考虑分解因式或配方。把方程2x2+5y2=11(xy－11)中含有未知数的项移到等号的左边，常数移到等号右边，分解因式。解移项并对方程右边进行因式分解得：(2x－y)(x－5y)=－112。于是有：,15,1212yxyx或,115,112yxyx或,1215,12yxyx或,1215,12yxyx或,115,112yxyx或.15,1212yxyx分别求解，其中的正整数解只有一组(x，y)=(14，27)。例5．求不定方程14x2－24xy+21y2+4x－12y－18=0的整数解。分析怎样对右边的多项式分解因式？注意到242－4×14×21=24(24－49)＜0，可知右边的二次多项式不能分解因式，故尝试链接二次或高次不定方程的常见解法1．因式分解法：对方程的一边进行因式分解，另一边作质因式分解，然后对比两边，转为求解若干个方程组；2．不等式估计法：构造不等式关系，确定不定方程中某些未知数的范围，再分别处理；3．无限递降法：若关于正整数n的命题P(n)对某些正整数成立，设n0是使P(n)成立的最小正整数，可以推出：存在n1∈N*，使得n1＜n0并且P(n1)成立，适合证明不定方程无正整数解。配方。解原式变形为：2(x－3y+1)2+3(2x－y)2=20，故3(2x－y)2≤20，即平方数(2x－y)2≤4，当(2x－y)2=0，1时，(x－3y+1)2=10或2(x－3y+1)2=17，均不可能，故(2x－y)2=4，从而(x－3y+1)2=4，由此得方程有唯一整数解：（1，0）。说明配成平方和的形式可以构造不等式，估计未知数的范围。情景再现1．求不定方程17x+40y=280的整数解。2．求不定方程50x+45y+36z=10的整数解。3．解不定方程6x+15y+21z+9w=30。4．设p为奇素数，试求1x+1y=2p的正整数解。5．求不定方程x2－5xy+6y2－3x+5y－11=0的整数解。B类例题例6．方程x2+y=x2y－1000的正整数解为。分析三次的不定方程，但也可以分解因式求解。另外注意到其中y是一次的，可以用x的分式表示y。解1原方程即x2y－x2－y－1000=0，。即(x2－1)(y－1)=1001，所以(x－1)(x+1)(y－1)=7×11×13，要使正整数x，y满足方程，只能取x=12，使x－1=11，x+1=13。故原不定方程的正整数解为x=12，y=8，即（12，8）。解2原方程变形为：y=x2+1000x2－1=1+1001x2－1=1+7×11×13(x－1)(x+1)。因为x，y是正整数，所以(x－1)与(x+1)都是1001的约数，只能取x－1=11，x+1=13即x=12。故原不定方程的正整数解为x=12，y=8，即（12，8）。说明处理不定方程时要根据具体的情况分析，灵活运用方法。例7．证明方程x2+y2－19xy－19=0无整数解。分析方程可以变形为x2+y2=19xy+19，左边是两个整数的平方和，右边是19的倍数。证明方程变形为x2+y2=19xy+19，∵x2+y2=19xy+19≡0(mod19)，而x2≡a(mod19)，y2≡b(mod19)，其中a，b可以取0，1，4，9，16，6，17，11，7，5。∴当a≠0或b≠0时，x2+y2≡0(mod19)不成立，∴a=b=0，∴x≡0(mod19)，y≡0(mod19)，设x=19m，y=19n，m，n∈Z，则方程变为19m2+19n2=192mn+1（*），等式的左边是19的倍数，右边被19除余1，方程（*）无整数解，则原方程也无整数解。说明如果不定方程F(x1，x2，…,xn)=0有整数解，则对任意m∈N*，其整数解(x1，x2，…，xn)满足F(x1，x2,…,xn)=0(modm)。利用这一必要条件，可以探究不定方程整数解的存在性。本题也可以考虑运用Guass定理：一个正整数n可表示为两个数平方之和的充要条件是n的4k+3型素因子（如果有的话）出现的幂次一定是偶数；引理：设p是4k+3型的素数，则x2+1≡0(modp)没有整数解。例8．求方程x2+y2=z2中0z10的所有互质的正整数解。分析勾股方程的正整数解是勾股数。解方程x2+y2=z2适合x＞0，y＞0，z＞0，(x,y)=1，y是偶数的一切正整数解可表示为：x=a2－b2，y=2ab，z=a2+b2，这里a＞b＞0，(a，b)=1，且a，b是一奇一偶两个整数。故a2+b2＜10，a＞b＞0，，从而a=2，b=1,故x=3，y=4，z=5。∴(x，y，z)=(3，4，5)或(x，y，z)=(4，3，5)。说明对于方程x2+y2=z2，如果(x，y)=d，则d2|z2，从而只需要讨论(x，y)=1的情形，此时易知x，y，z两两互素。这种两两互素的正整数组(x，y，z)称为方程的本原解。例9．设p为质数，a，n∈N*，并且2p+3p=an。证明：n=1。分析从最小的质数2开始分析，从中寻找规律。当p=2时，na=22+32=13，则n=1；当p=3时，na=23+33=35，则n=1；当p=5时，na=25+35=275=25×11，则n=1，……证明当p=2时，na=13，故n=1;当p＞2时，质数p为奇数，na=2p+3p=5(2p-1－2p-2×3+…+3p-1)，故5|2p+3p，若n＞1，则有5|(2p-1－2p-2×3+…+3p-1)，注意到A=2p-1－2p-2×3+…+3p-1≡2p-1+2p-1+…+2p-1≡p×2p-1(mod5)，故5|p×2p-1，从而5|p，结合p为质数，知p=5，此时na=52×11，与n＞1矛盾。所以命题成立。说明在归纳过程中，可以发现na总是5的倍数，且只有p=5时，na是25的倍数，从而在式子上找到答案。情景再现6．试证：不定方程132nyx(n是正整数)没有正整数解。7．设a,b,c,d为正整数，ab=cd。证明：4444dcba不是素数。8．求所有的整数对(x,y),使得x3=y3+2y2+1。C类例题例10．证明不定方程x2+y2=3(z2+w2)没有非零整数解。分析无穷递降法解注意方程x2+y2=3(z2+w2)的特点，若(x，y，z，w)是方程的非零解，则(|x|，|y|，|z|，|w|)也是方程的非零解，不妨设(x0，y0，z0，w0)为方程的非零解，其中x0≥0，y0≥0，z0≥0，w0≥0，x0+y0+z0+w0＞0，则x02+y02=3(z02+w02)≡0(mod3)，∵x02+y02≡0(mod3)，∴x02≡0(mod3)，y02≡0(mod3)，∴x0≡0(mod3)，y0≡0(mod3)，∵∵设x0=3x1，y0=3y1，则3(x12+y12)=z02+w02≡0(mod3)，同理z0