2012江苏省数学竞赛《提优教程》第49讲四面体与球题目

第9讲四面体与球本节内容主要是四面体和球的性质与计算，球与多面体的关系，四面体的外接球与内切球等．A类例题长方体一个顶点上三条棱的长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是（）A．202πB．252πC．50πD．200π（1997年理）分析：首先求出球的半径．解：易知球的中心为长方体的中心，长方体的对角为线球的直径，故R＝1232＋42＋52＝522，∴S＝4πR2＝50π．[来源:学+科+网Z+X+X+K]答案：C一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为（）（A）82π（B）8π（C）42π（D）4π[来源:学,科,网]（2005年·河南河北山西安徽卷）解：截面圆面积为π，∴截面圆半径1r，∴球的半径为R＝OO12＋r2＝2，∴球的表面积为π8．答案：B球面上有3个点，错误!未指定书签。其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（）A．43B．23C．2D．3（1998年理）分析：要弄清楚大圆半径与小圆半径的关系．HAOBC解：设O为大圆圆心，A，B，C为满足条件的三个点．由任意两点的球面距离都等于大圆周长的16知∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝60°．∴△AOB，△BOC，△COA都是正三角形．由⊙H周长为4π知⊙H的半径为2，∴AB＝23．∴球的半径为23．答案：B情景再现木星的体积约是地球体积的24030倍，则它的表面积约是地球表面积的（）A．60倍B．6030倍C．120倍D．12030倍正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（）A．πa23B．πa22C．2πa2D．3πa2（1995年全国理）一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是（）A．100π3cm3B．208π3cm3C．500π3cm3D．4163π3cm3（2004年高考·江苏卷）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A．12512πB．1259πC．1256πD．1253πB类例题如图，A、B、C是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是（）A．arcsin36B．arccos36C．arcsin33D．arccos33（2004年高考·福建卷）分析：首先要求出球及截面圆的半径，然后分析O在截面ABC的射影O′的位置．解：由AB=2，BC=4，∠ABC=60°知∠BAC＝90°，∴BC为截面圆的直径，∴O在截面ABC的射影O′为BC中点，截面圆半径r＝2．又球的表面积为48π，∴R＝23．在等腰三角形△OBC中O到BC距离为22，∴sin∠OAO′＝2223＝63，即∠OAO′＝arccos33．答案：D已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为π3，则圆台的体积与球体积之比_______（1995年全国理）分析：考虑垂截面，从中找到需要的半径等线段的比例．解：设球的半径为R，则体积为43πR3，圆台下底面半径为R，上底面半径为12R，高为32R．则圆台体积为13πR2·3R－13π（R2）2·32R＝724πR3．∴圆台体积与球体积之比为7332．答案：7332情景再现将3个半径为1的球和一个半径为2－1的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是（）A．32＋63B．3＋263C．2＋263D．22＋63（2002年希望杯高二）一根细金属丝下端挂着一个半径为1的金属球，将它沉入半径为R的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被提出水面时，客器内的水面下降了________．（2001年希望杯）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是____．（2000年全国高中数学联赛）C类例题如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AB＝∠A1AC，AB＝AC，A1A＝A1B＝a，侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°，E、F分别是棱B1C1、A1A的中点．求经过A1，A，B，C四点的球的体积．（2005年高考·天津卷）分析：利用对称性找到外接球球心的位置．解：连结A1C．在△A1AC和△A1AB中，∵AC＝AB，∠A1AB＝∠A1AC，∴△A1AC≌△A1AB，故A1C＝A1B．由已知得A1A＝A1B＝A1C＝a．又∵A1H⊥平面ABC，∴H为△ABC的外心．设所求球的球心为O，则O∈A1H，且球心O与AA1中点的连线OF⊥AA1，在Rt△A1FO中，A1O＝A1Fcos∠AA1H＝33a．故所求球的半径R＝33，球的体积V＝43πR3＝4327πa3．在半径为R的球内作内接圆柱，则内接圆柱全面积的最大值是（）A．3πR2B．（1＋2）πR2C．（1＋5）πR2D．（1＋3）πR2分析：用R表达出内接圆柱的全面积，然后求最值．解：设内接圆柱底面半径为Rsinα，则高为2Rcosα，全面积为2π（Rsinα）2＋2πRsinα×2Rcosα＝πR2（1＋cosα＋2sinα）＝πR2〔1＋5sin（α＋θ）〕≤（1＋5）πR2．答案：C求证：各面的面积相等的四面体是等腰四面体(国家集训队训练题)．证明：若O为此四面体内切球球心，内切球半径为r，O1、O2为内切球与面BCD、ACD的切点．则OO1=OO2=r，且OO1⊥面BCD，OO2⊥面ACD．∴CO1=CO2，DO1=DO2，(从球外一点向球引的切线长相等)，∠CO1D=∠CO2D．即取内切球与四个面的切点，有公共棱的两个面上的切点对此公共棱张角相等．把此四面体展开如图，作出了其内切球与每个面相切的切点与此面上三个顶点的连线．于是有：α+β+γ=α++φ=β++θ=γ+θ+φ=360°．由此四式，可得：β+γ=+θ，β+=γ+φ，β=φ，θ=α，γ=．⑴由四个面的面积相等，得bdsinα+bcsinβ+cdsinγ=bdsinα+absin+adsinφ=bcsinβ+absin+acsinθ=cdsinγ+adsinφ+acsinθ．以⑴代入，得bdsinα+bcsinβ+cdsinγ=bdsinα+absinγ+adsinβ=bcsinβ+absinγ+acsinα=cdsinγ+adsinβ+acsinα．⑵由⑵的前二式，得bcsinβ+cdsinγ=absinγ+adsinβ，(bc－ad)sinβ=(ab－cd)sinγ．⑶由⑵的后二式，得bcsinβ+absinγ=cdsinγ+adsinβ，(bc－ad)sinβ=(cd－ab)sinγ．⑷比较⑶、⑷，得ab=cd，bc=ad，b=d，a=c，同理可得，b=c．于是a=b=c=d．于是可得，AB=BC，AC=BD，AD=BC，即四面体ABCD是等腰四面体．O2OO1DCBAA'AabcdabcdabcdCDAB已知一个四面体ABCD，AB=a，CD=b，异面直线AB、CD的距离为d，所成角为，这个四面体被平行于棱AB与CD的平面γ截成两部分，如果AB、CD到γ的距离比为k，试求这两部分的体积比．[来源:学,科,网](IMO—7—3)分析：求体积比可以不用a，b，d，这些数据．解：如图，截面γ分别与相应的棱交于Q、R、S、T，设四面体ABCD的体积为V，ABQRST的体积为V1，CDQRST的体积为V2．取面PQR∥面BCD，AB、CD的公垂线为MN，AB、MN确定的平面与QRST交于EF，MN与EF交于G．则EF∥AB，MN⊥面γ，MN⊥EF．∵AB、CD与平面γ的距离之比为k，NG∶GM=k，∴EF∶AB=MG∶MN=1∶(k+1)；AP∶AB=k∶(k+1)．[来源:学+科+网]∴VA—PQR∶V=k3∶(k+1)3．VA—PQR=k3(k+1)3V．三棱柱PQR—BTS的高∶三棱锥A—BCD的高=1∶(k+1)．∴VPQR—BTS=(kk+1)2·(1k+1)V·3=3k2(k+1)3V，∴V1=k3+3k2(k+1)3V，V2=V－V1=3k+1(k+1)3V．∴V1∶V2=(k3+3k2)∶(3k+1)．情景再现在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=23，则此正三棱锥S-ABC外接球的表面积是（）A．12πB．32πC．36πD．48将8个半径为1的球放分两层放置在一个圆柱内，使得每个球与其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，求圆柱的高．（2003年全国高中数学联赛）习题九FGETNMPQSRDCBA把长和宽分别为8和6的长方形ABCD沿对角线AC折成二面角B—AC—D，则A、B、C、D四点共球的球表面积与球内接正方体的表面积之比为（）A．π2B．π3C．π4D．π6已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点.如果AB＝AC＝BC＝23，则球心到平面ABC的距离为（）A．1B．2C．3D．2（2004年高考·甘肃、青海、宁夏、贵州、新疆卷）A是直径为25的球面上的一点，在这个球面上有一圆，圆上所有的点到A的距离都是15，那么这个圆的半径是（）A．12B．10C．15D．6一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_______（1995年全国高中数学联赛）球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形，AB＝18，BC＝24，AC＝30，且球心到该截面的距离为球半径的一半，那么这个球的体积是______．纬度为α的纬线圈上有A、B两点，这两点间纬线圈上弧长为πRcosα（R为地球半径），则两点间的球面距离为_____________．圆锥内有一个表面积为4π的内切球，求所有这样的圆锥中体积最小时的表面积．A、B两地可以看作地球表面上的两点，它们分别在北纬60°和30°的纬线圈上，且经度差为90°，设地球半径为R，求A、B两点间的球面距离．高为8的圆台内有一个半径为2的球O1，球心O1在圆台的轴上．球O1与圆台上底面、侧面都相切．圆台内可再放入一个半径为3的球O2，使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点．除球O2，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A．1B．2C．3D．4（1996年全国高中数学联赛）将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）A．3＋263B．2＋263C．4＋263D．43＋263（2005高考·吉林、黑龙江、广西卷）以棱长为1的正四面体的各棱为直径作球，S是所作六个球的交集．证明S中没有一对点的距离大于16．[来源:学。科。网Z。X。X。K]（第2届IMO）学科网第9讲四面体与球答案1.答案：C2.答案：B3.答案：C4.答案：C5.答：A6.答案：43R27.答案：224πa38.答案：C9.解：如图，由已知，上下层四个球的球心A′，B′，C′，D′和A，B，C，D分别是上下两个边长为2的正方形的定点，且以它们外接圆⊙O′和⊙O为上下底构成圆柱．同时A′在下底面的射影必是AB⌒的中点M．在△A′AB中，A′A＝A′B＝AB＝2．设AB中点为N，则A′N＝3．又OM＝OA＝2，ON＝1，∴MN＝2－1．A′M＝A′N2－MN2＝48．故所求原来圆柱的高为2＋48．10.解：设AC中点为O，长方形折叠成A、B、C、D四点共球的三棱锥后，OA＝OB＝OC＝OD，O为球心，球半径是5，球表面积是100π，此球内接正方体的表面积是200，所求的比值是π2．[来源:Zxxk.Com]答案：A[来源:学#科#网]11.答案：A12.答案：D．13.解：设球半径为1，内接圆锥半径为sinα，则高为1＋cosα，体积为13πsin2α（1＋cosα）＝13π·12（1＋cosα）（2－2cosα）（1＋cosα）≤3281π，故体积之比为827．答案：82714.解：由AC２＝A