2012江苏省数学竞赛《提优教程》第18讲平几中的几个重要定理(一)

第18讲平几中的几个重要定理（一）本节主要内容有Ptolemy、Ceva、Menelaus等定理及应用．定理1(Ptolemy定理)圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和；(逆命题成立)定理2(Ceva定理)设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．定理3(Menelaus定理)设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．定理4设P、Q、A、B为任意四点，则PA2-PB2=QA2-QB2PQ⊥AB．A类例题例1证明Ptolemy定理．已知：如图，圆内接ABCD，求证：AC·BD=AB·CD+AD·BC．分析可设法把AC·BD拆成两部分，如把AC写成AE+EC，这样，AC·BD就拆成了两部分：AE·BD及EC·BD，于是只要证明AE·BD=AD·BC及EC·BD=AB·CD即可．证明在AC上取点E，使ADE=BDC，由DAE=DBC，得⊿AED∽⊿BCD．∴AE∶BC=AD∶BD，即AE·BD=AD·BC．⑴又ADB=EDC，ABD=ECD，得⊿ABD∽⊿ECD．∴AB∶ED=BD∶CD，即EC·BD=AB·CD．⑵⑴+⑵，得AC·BD=AB·CD+AD·BC．说明本定理的证明给证明ab=cd+ef的问题提供了一个典范．链接用类似的证法，可以得到Ptolemy定理的推广(广义Ptolemy定理)：对于一般的四边形ABCD，有AB·CD+AD·BC≥AC·BD．当且仅当ABCD是圆内接四边形时等号成立．例2证明Ceva定理．分析此三个比值都可以表达为三角形面积的比，从而可用面积来证明．ZYXCBAABCPXYZABCDEABCPXYZ证明：设S⊿APB=S1，S⊿BPC=S2，S⊿CPA=S3．则AZZB=S3S2，BXXC=S1S3，CYYA=S2S1，三式相乘，即得证．说明用同一法可证其逆正确．链接本题也可过点A作MN∥BC延长BY、CZ与MN分别交于M、N，再用比例来证明．运用此定理可以比较简洁证明三条角平分线、三条中线、三条高等共点问题．例3证明Menelaus定理．证明：作CN∥BA，交XY于N，则AZCN=CYYA，CNZB=XCBX．于是AZZB·BXXC·CYYA=AZCN·CNZB·BXXC·CYYA=1．本定理也可用面积来证明：如图，连AX，BY，记SAYB=S1，SBYC=S2，SCYX=S3，SXYA=S4．则AZZB=S4S2+S3；BXXC=S2+S3S3；CYYA=S3S4，三式相乘即得证．说明用同一法可证其逆正确．Ceva定理与Menelaus定理是一对“对偶定理”．链接本定理证明很多，可以运用三角、射影等知识；还可以运用此定理证明Ceva定理．例4证明定理4设P、Q、A、B为任意四点，则PA2-PB2=QA2-QB2PQ⊥AB．证明先证PA2-PB2=QA2-QB2PQ⊥AB．作PH⊥AB于H，则PA2-PB2=(PH2+AH2)-(PH2+BH2)=AH2－BH2=(AH+BH)(AH-BH)=AB(AB-2BH)．同理，作QH’⊥AB于H’，则QA2-QB2=AB(AB-2AH’)∴H=H’，即点H与点H’重合．PQ⊥ABPA2-PB2=QA2-QB2显然成立．说明本题在证明两线垂直时具有强大的作用．链接点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d2－r2就是点P对于⊙O的幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则PA·PB=|d2－r2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于ZYXCBAS1S2S3S4ZYXCBANABPQHH'三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．情景再现1.如图，P是正△ABC外接圆的劣弧︵BC上任一点(不与B、C重合)，求证：PA=PB＋PC．2.设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于E．求证：AEED=2AFFB．3．线交于一点证明：三角形的角平分．B类例题例5设A1A2A3…A7是圆内接正七边形，求证：1A1A2=1A1A3+1A1A4．(1987年第二十一届全苏)分析注意到题目中要证的是一些边长之间的关系，并且是圆内接多边形，当然存在圆内接四边形，从而可以考虑用Ptolemy定理．证明连A1A5，A3A5，并设A1A2=a，A1A3=b，A1A4=c．本题即证1a=1b+1c．在圆内接四边形A1A3A4A5中，有A3A4=A4A5=a，A1A3=A3A5=b，A1A4=A1A5=c．于是有ab+ac=bc，同除以abc，即得1a=1b+1c，故证．说明Ptolemy定理揭示了圆内接四边形中线段关系，在数学中应用非常广泛．例6(南斯拉夫，1983)在矩形ABCD的外接圆弧AB上取一个不同于顶点A、B的点M，点P、Q、R、S是M分别在直线AD、AB、BC与CD上的投影．证明，直线PQ和RS是互相垂直的，并且它们与矩形的某条对角线交于同一点．证明：设PR与圆的另一交点为L．则→PQ·→RS=(→PM+→PA)·(→RM+→MS)=→PM·→RM+→PM·→MS+→PA·→RM+→PA·→MS=－→PM·→PL+→PA·→PD=0．故PQ⊥RS．AAAAAAA1234567T,NSRQPMABCDLPBCAEABCDE设PQ交对角线BD于T，则由Menelaus定理，(PQ交ABD)得DPPA·AQQB·BTTD=1；即BTTD=PADP·QBAQ；设RS交对角线BD于N，由Menelaus定理，(RS交BCD)得BNND·DSSC·CRRB=1；即BNND=SCDS·RBCR；显然，PADP=RBCR，QBAQ=SCDS．于是BTTD=BNND，故T与N重合．得证．说明本题反复运用了Menelaus定理，解题要抓住哪一条直线截哪一个三角形．情景再现4．在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G．求证：GAC=EAC．（1999年全国高中数学联赛）5．ABCD是一个平行四边形，E是AB上的一点，F为CD上的一点．AF交ED于G，EC交FB于H．连接线段GH并延长交AD于L，交BC于M．求证：DL=BM.6．在直线l的一侧画一个半圆T，C，D是T上的两点，T上过C和D的切线分别交l于B和A，半圆的圆心在线段BA上，E是线段AC和BD的交点，F是l上的点，EF垂直l．求证：EF平分∠CFD．C类例题[来源:Zxxk.Com]例7以O为圆心的圆通过⊿ABC的两个顶点A、C，且与AB、BC两边分别相交于K、N两点，⊿ABC和⊿KBN的两外接圆交于B、M两点．证明：∠OMB为直角．(1985年第26届国际数学竞赛）[来源:学科网]分析对于与圆有关的问题，常可利用圆幂定理，若能找到BM上一点，使该点与点Ｂ对于圆O等幂即可．证明：由BM、KN、AC三线共点P，知PM·PB=PN·PK=PO2-r2．⑴由PMN=BKN=CAN，得P、M、N、C共圆，故BM·BP=BN·BC=BO2-r2．⑵⑴－⑵得，PM·PB-BM·BP=PO2-BO2，即(PM-BM)(PM+BM)=PO2-BO2，就是PM2-BM2=PO2-BO2，于是OM⊥PB．例8(蝴蝶定理)AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，求证：MP=QM．分析圆是关于直径对称的，当作出点F关于OM的对称点F'后，只要设法证明⊿FMP≌⊿F'MQ即可．证明：作点F关于OM的对称点F’，连FF’，F’M，F’Q，F’D．则MF=MF’，4=FMP=6．圆内接四边形F’FED中，5+6=180，从而4+5=180，于是M、F’、D、Q四点共圆，∴2=3，但3=1，从而1=2，于是⊿MFP≌⊿MF’Q．∴MP=MQ．[来源:学科网ZXXK]OACBKNMPABCDEFMF'123456OPQ说明本定理有很多种证明方法，而且有多种推广．例9如图，四边形ABCD内接于圆，AB，DC延长线交于E，AD、BC延长线交于F，P为圆上任意一点，PE，PF分别交圆于R，S.若对角线AC与BD相交于T.求证：R，T，S三点共线．分析对于圆内接多边形有很多性质，本题涉及到圆内接六边形，我们先来证明两个引理．引理1:A1B1C1D1E1F1为圆内接六边形，若A1D1，B1E1，C1F1交于一点，则有1111111111111AFFEEDDCCBBA.如图，设A1D1，B1E1，C1F1交于点O，根据圆内接多边形的性质易知△OA1B1∽△OE1D1，△OB1C1∽△OF1E1，△OC1D1∽△OA1F1，从而有ODOBEDBA111111，OBOFCBFE111111，OFODAFDC111111.将上面三式相乘即得1111111111111AFFEEDDCCBBA，引理2：圆内接六边形A1B1C1D1E1F1，若满足1111111111111AFFEEDDCCBBA则其三条对角线A1D1，B1E1，C1F1交于一点．该引理的证明，留给读者思考．例9之证明如图，连接PD，AS，RC，BR，AP，SD.由△EBR∽△EPA，△FDS∽△FPA，知EPEBPABR,FDFPDSPA.两式相乘，得FDEPFPEBDSBR.①又由△ECR∽△EPD，△FPD∽△FAS，知EPECPDCR，FAFPASPD.两式相乘，得FAEPFPECASCR②由①，②得FDECFAEBCRDSASBR.故ABSADSCDRCBRCEDCFDAFBAEB.③EBRCTAPSDFBFAE1OCD11111对△EAD应用Menelaus定理，有1CEDCFDAFBAEB④由③，④得1ABSADSCDRCBR.由引理2知BD，RS，AC交于一点，所以R，T，S三点共线．情景再现7．(评委会，土耳其，1995)设ABC的内切圆分别切三边BC、CA、AB于D、E、F，X是ABC内的一点，XBC的内切圆也在点D处与BC相切，并与CX、XB分别切于点Y、Z，证明，EFZY是圆内接四边形．。证明：的交点，与是的中点，是上，点在的平分线，是是斜边上的高，中，若直角CEBFCKDEFACDAKEACKCECKABC//.8习题181．在四边形ABCD中，⊿ABD、⊿BCD、⊿ABC的面积比是3∶4∶1，点M、N分别在AC、CD上满足AM∶AC=CN∶CD，并且B、M、N三点共线．求证：M与N分别是AC与CD的中点．(1983年全国高中数学联赛)2．四边形ABCD内接于圆，其边AB与DC延长交于点P，AD、BC延长交于点Q，由Q作该圆的两条切线QE、QF，切点分别为E、F，求证：P、E、F三点共线．(1997年中国数学奥林匹克）3．若⊿ABC的边a、b、c，所对的角为1∶2∶4，求证：1a=1b+1c．4．如图，⊿ABC中，P为三角形内任意一点，AP、BP、CP分别交对边于X、Y、Z．求证：XPXA+YPYB+ZPZC=15．(Lemoineline)从三角形的各个顶点引其外接圆的切线，这些切线与各自对边的交点共线．6．(Desargues定理)设有△ABC、△A'B'C'，且AB与A'B'交于Z，BC与B'C'交于X，CA与C'A'交于Y．则⑴若AA'、BB'、CC'三线共点，则X、Y、Z三点共线；⑵若X、Y、Z三点共线，则AA'、BB'、CC'三线共点．7．在ABC中，∠C=90°，AD和BE是它的两条内角平分线，设L、M、N分别为AD、AB、BE的中点，X=LM∩BE，Y=MN∩AD，Z=NL