《常微分方程》知识点整理

《常微分方程》复习资料中南财经政法大学统数学院信科1101陈弄祺-1-《常微分方程》复习资料1．（变量分离方程）形如()()dyfxydx（1.1）的方程，称为变量分离方程，这里(),()fxy分别是,xy的连续函数．解法：（1）分离变量，当()0y时，将（1.1）写成()()dyfxdxy，这样变量就“分离”了；（2）两边积分得()()dyfxdxcy（1.2），由（1.2）所确定的函数(,)yxc就为（1.1）的解．注：若存在0y，使0()0y，则0yy也是（1.1）的解，可能它不包含在方程（1.2）的通解中，必须予以补上．2．（齐次方程）形如()dyygdxx的方程称为齐次方程，这里是u的连续函数．()gu解法：（1）作变量代换（引入新变量）yux，方程化为()duguudxx，（这里由于dyduxudxdx）；（2）解以上的分离变量方程；（3）变量还原．3．（一阶线性微分方程与常数变异法）一阶线性微分方程()()()0dyaxbxycxdx在的区间上可写成()0ax()()dyPxyQxdx（3.1），这里假设在考虑的区间上是(),()PxQxx的连续函数．若，则（3.1）变为()0Qx()dyPxydx（3.2），（3.2）称为一阶齐次线性方程．若()0Qx，则（3.1）称为一阶非齐次线性方程．解法：（1）解对应的齐次方程()dyPxydx，得对应齐次方程解()pxycedx，为任意常数；c（2）常数变异法求解（将常数变为cx的待定函数，使它为（3.1）的解）：令为（3.1）的解，则()cx()()pxdxycxe()()()()()ppxdxpxdydcxecxxedxdxdx，代入（3.1）得()()()pxdxdcdxxQxe)，积分得；()pxdxc()()cxQxe（3）故（3.1）的通解为()()(()pxdxpxdxyeQxedxc．4．（伯努利方程）形如()()ndyPxyQxydx的方程，称为伯努利方程，这里为(),()PxQxx的连续函数．解法：（1）引入变量变换，方程变为1nzy(1)()(1)()dznPxznQxdx；（2）求以上线性方程的通解；（3）变量还原．5．（可解出的方程）形如y(,)dyyfxdx(5.1)的方程，这里假设(,)fxy有连续的偏导数．解法：（1）引进参数dypdx，则方程（5.1）变为(,)yfxp（5.2）；（2）将（5.2）两边对x求导，并以dypdx代入，得ffppxpx（5.3），这是关于变量,xp的一阶微分方程；（3）（i）若求得（5.3）的通解形式为(,)pxc，将它代入（5.2），即得原方程（5.1）的通解(,(,))yfxxc，为任意常数；c《常微分方程》复习资料中南财经政法大学统数学院信科1101陈弄祺-2-（ii）若求得（5.3）的通解形式为(,)xpc，则得（5.1）的参数形式的通解为(,)((,),)xpcyfpcp，其中p是参数，是任意常数；c（iii）若求得（5.3）的通解形式为，则得（5.1）的参数形式的通解为(,,)0xpc(,,)0(,)xpcyfxp，其中p是参数，是任意常数．c6．（可解出x的方程）形如(,)dyxfydx(6.1)的方程，这里假设(,)fyy有连续的偏导数．解法：（1）引进参数dypdx，则方程（6.1）变为(,)xfyp（6.2）；（2）将（6.2）两边对y求导，并以1dxdyp代入，得1ffppypy（6.3），这是关于变量,yp的一阶微分方程；（3）若求得（6.3）的通解形式为，则得（6.1）的参数形式的通解为(,,)0ypc(,)(,,)0xfypypc，其中p是参数，是任意常数．c7．（不显含的方程）形如y(,)0dyFxdx的方程，这里假设(,)Fxy有连续的偏导数．解法：（1）设dypdx，则方程变为；(,)0Fxp（2）引入参数，将用参数曲线表示出来，即t(,)0Fxp()()xtpt，（关键一步也是最困难一步）；（3）把()xt，()pt代入dy，并两边积分得pdx()()yttdtc；（4）通解为()()()xtyttdtc．8．（不显含x的方程）形如(,)0dyFydx的方程，这里假设(,)Fyy有连续的偏导数．解法：（1）设dypdx，则方程变为；(,)0Fyp（2）引入参数，将用参数曲线表示出来，即t(,)0Fyp()()ytpt，（关键一步也是最困难一步）；（3）把()yt，()pt代入dydxp，并两边积分得()()txdtct；（4）通解为()()()txdtctyt．9．（型可降阶高阶方程）特点：不显含未知函数()(1)(,,,,)0(1)knnFxyyyky及．(1),,kyy解法：令()()kyzx，则(1)kyz，．代入原方程，得．若能求得，()()nnyzk()(,(),(),,())0nkFxzxzxzx()zx《常微分方程》复习资料中南财经政法大学统数学院信科1101陈弄祺-3-将()()kyzx()yf连续积分次，可得通解．k,10．（型可降阶高阶方程）特点：右端不显含自变量()(1)(,,)nkyyynx．解法：设，则()y222,(dpdydPdpdPyPyPPdydxdydydyyp2),)，代入原方程得到新函数的()Py(1n阶方程，求得其解为1()(,,,)n1PyyCCdydx，原方程通解为11(,,,)nndyxCyCC．11．（恰当导数方程）特点：左端恰为某一函数对(1)(,,,,)nxyyyx的导数，即(1)(,,,,)0ndxyyydx．解法：类似于全微分方程可降低一阶(1)(,,,,)nxyyyC，再设法求解这个方程．12．（齐次方程）特点：（k次齐次函数）．()()(,,,,)(,,,,)nknxtytytytFxyyyFzdx解法：可通过变换ye将其降阶，得新未知函数．因为()zx2()(1),(),,(,,,)zdxzdxzdxnnyzeyzzeyzzze(1)(,,,,)0nfxzzz，代入原方程并消去，得新函数的阶方程kzedx()zx(n1)．13．（存在唯一性定理）考虑初值问题00(,)()dyfxydxyxy（13.1），其中(,)fxy在矩形区域00:,Rxxayyb上连续，并且对满足Lipschitz条件：即存在，使对所有(,y0L12(,)),xyxyR常成立121(,)(,)2fxyfxyLyy，则初值问题（13.1）在区间0xxh上的解存在且唯一，这里(,)min(,ha),(,)xyRMMaxfxybM．初值问题（13.1）等价于积分方程00(,)xxyyftydt，构造Picard逐步逼近函数列00001()()()(,())xnnnxxyxxyfdx00xxxh，n．1,2,14．（包络的求法）曲线族（14.1）的包络包含在下列两方程(,,)0xyc(,,)0(,,)0cxycxyc消去参数而得到的曲线之中．曲线c(,)0Fxy(,)0Fxy称为（14.1）的c判别曲线．15．（奇解的直接计算法）方程(,,)0dyF15.1）的奇解包含在由方程组去参数xydx（消(,,)0(,,)0cFxypFxypp而之得到的曲线(,中，此曲线称为（15.1）的)0xyp别曲线，这里(,F判,)xyp0是,,xyp的连续可微函数．注：p判别曲线是否为方程的奇解，尚需进一步讨论．16．（克莱罗方程）形如dydyyxfdxdx（16.1）的方程，称为克莱罗方程，这里．()0fp《常微分方程》复习资料中南财经政法大学统数学院信科1101陈弄祺-4-解法：令dypdx，得．两边对()yxpfpx求导，并以dypdx代入，即得()dpdppxpfpdxdx，经化简，得[()]0．dpxfpdx如果0dpdx，则得到pc．于是，方程（16.1）的通解为：()ycxfc．如果，它与等式()0xfp()yxpfp联立，则得到方程（16.1）的以p为参数的解：()0()xfpyxpfp或()0()xfcyxcfc其中为参数．消去参数cp便得方程的一个解．17．（函数向量组线性相关与无关）设12(),(),,()mxtxtxtatb是一组定义在区间[,上的函数列向量，如果存在一组不全为0的常数，使得对所有，有恒等式]abc12,,mccc1122()()()0mmcxtcxtxt，则称12(),(),,()mxtxtxt在区间[,上线性相关；否则就称这组向量函数在区间[,上线性无关．]ab]ab18．（Wronsky行列式）设有n个定义在at上的向量函数bnn11121212221212()()()()()()(),(),,()()()()nnnnnxtxtxtxtxtxxtxtxttxtxtxt，由这n个向量函数所构成的行列式111212122212[(),(12()()()()()()),()()()()()nnnnnnnxtxtxtxtxtxtWxxtWttxtxtxtxt称为这个向量函数所构成的Wronsky行列式．n如果向量函数12(),(),,()nxtxtxt在at上线性相关，则它们的Wronsky行列式．b()0,tWtab19．（基解矩阵的计算公式）（1）如果矩阵具有个线性无关的特征向量，它们相应的特征值为An12,,,nvvv12,,,n（不必互不相同），那么矩阵是常系数线性微分方程组12tte12(),,,],ntnvvev[texxAx的一个基解矩阵；（2）矩阵的特征值、特征根出现复根时（略）；A（3）矩阵的特征根有重根时（略）．A20．（常系数齐线性方程）考虑方程111[]0nnnnndxdxLxaaxdtdt（20.1），其中为常数，称（20.1）为阶常系数齐线性方程．12,,naaan解法：（1）求（20.1）特征方程的特征根12,,,k；（2）计算方程（20.1）相应的解：（i）对每一个实单根k，方程有解kte；（ii）对每一个重实根1mk，方程有个解：m21,,,,kkktttmetetetekt；《常微分方程》复习资料中南财经政法大学统数学院信科1101陈弄祺-5-（iii）对每一个重数是1的共轭复数i，方程有两个解：cos,sinttetet；（iv）对每一个重数是的共轭复数1mi，方程有个解：2m11cos,cos,,cos;sin,sin,,sinttmtttmtettettetettettet；（3）根据（2）中的（i）、（ii）、（iii）、（iv）情形，写出方程（20.1）的基本解组及通解．21．（常系数非齐次线性方程）()ypyqyfx二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程，通解结构0ypyqyyYy．设非齐次方程特解()xyQxe代入原方程2()(2)()()()()mQxpQxpqQx