2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升1-3-2球的体积和表面积

一、选择题1．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于()A.12B．1C．2D．3[答案]D2．半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是()A．22R3B.43πR3C.893R3D.39R3[答案]C3．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为()A．RB．2RC．3RD．4R[答案]D4．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是()A.6π6B.π2C.2π2D.3π2π[答案]A[解析]由6a2＝4πR2得aR＝2π3，∴V1V2＝a343πR3＝34π2π33＝6π6.5．已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是()A．6:5B．5:4C．4:3D．3:2[答案]D[解析]设球的半径为R，则圆柱的高h＝2R，底面的半径也为R，∴S柱S球＝2πR2＋4πR24πR2＝32.6．(2012～2013山东临清中学高一第三次月考试题)已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是()A．202B．252C．50πD．200π[答案]C[解析]长方体的体对角线即为球的直径，∴2R＝32＋42＋52，∴R＝522，S球＝4πR2＝50π.7．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A．9πB．10πC．11πD．12π[答案]D[解析]本题是三视图还原为几何体的正投影问题．．．．．，考查识图能力，空间想像能力．由题设可知，该几何体是圆柱的上面有一个球，圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1，∴该几何体的表面积为2π×1×3＋2π×12＋4π×12＝12π.8．64个直径都为a4的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲；一个直径为a的球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则()A．V甲V乙且S甲S乙B．V甲V乙且S甲S乙C．V甲＝V乙且S甲S乙D．V甲＝V乙且S甲＝S乙[答案]C[解析]计算得V甲＝16πa3，S甲＝4πa2，V乙＝16πa3，S乙＝πa2，∴V甲＝V乙，且S甲S乙．二、填空题9．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积和是原来整球表面积的________倍．[答案]32[解析]S球＝4πR2,2S半＝(2πR2＋πR2)×2＝6πR2，2S半S球＝6πR24πR2＝32.10．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为________．[答案]3:1:2[解析]V柱＝πR2×2R＝2πR3，V锥＝13πR2×2R＝2π3R3，V球＝43πR3.V柱:V锥:V球＝3:1:2.11．已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为________．[答案]36π[解析]设球O的半径为r，则43πr3＝23，解得r＝36π12．(2010·湖北高考)圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.[答案]4[解析]设球的半径为r，则圆柱形容器的高为6r，容积为πr2×6r＝6πr3，高度为8cm的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×43πr3＝4πr3，由题意6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4.三、解答题13．(2012～2013·福建厦门高一检测)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，求该几何体的表面积和体积．[解析]由三视图可知此几何体是半径为2的半球．S＝12×4πR2＋πR2＝12π，V＝43πR3×12＝163π.14．一试管的上部为圆柱形，底部为与圆柱底面半径相同的半球形．圆柱形部分的高为hcm，半径为rcm.试管的容量为108πcm3，半球部分容量为全试管容量的16.(1)求r和h；(2)若将试管垂直放置，并注水至水面离管口4cm处，求水的体积．[解析](1)∵半球部分容量为全试管容量的16，∴半球部分与圆柱体部分容量比为15，即15＝43πr3×12πr2×h∴h＝103r，43πr3×12＝108π×16∴r＝3(cm)，h＝10(cm)．(2)V＝43πr3×12＋πr2×(h－4)＝43π×33×12＋π×32×6＝72π(cm3)．15．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是S1、S2、S3，试比较它们的大小．[解析]设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，则S1＝6a2，S2＝4πR2，S3＝6πr2.由题意知，43πR3＝a3＝πr2·2r，∴R＝334πa，r＝312πa，∴S2＝4π334πa2＝4π·3916π2a2＝336πa2，S3＝6π312πa2＝6π·314π2a2＝354πa2，∴S2S3.又6a2332πa2＝354πa2，即S1S3.∴S1、S2、S3的大小关系是S2S3S1.16．(2012－2013·杭州高二检测)如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，冰淇淋会从杯子溢出吗？请计算说明理由．[解析]V球＝12×43πR3＝1283π，V锥＝13πR2h＝π×42×10×13＝1603π，1283π1603π∴不会溢出．