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一、选择题1．异面直线是指()A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线[答案]D[解析]对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴A应排除．对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如右图，就是相交的情况，∴B应排除．对于C，如右图的a，b可看做是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D.规律总结：解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面要熟练掌握立体几何中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例，构造相关特例模型，能快速、有效地排除相关的选择项．2．a，b为异面直线，且a⊂α，b⊂β，若α∩β＝l，则直线l必定()A．与a，b都相交B．与a，b都不相交C．至少与a，b之一相交D．至多与a，b之一相交[答案]C[解析]若a，b与l都不相交，则a∥l，b∥l，即a∥b，与a，b是异面直线矛盾．故选C.3．直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．以上都有可能[答案]D[解析]如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，所以AB∥A1B1；又AD与AA1相交，所以AB与AD相交；又A1D1与AA1相交，所以AB与A1D1异面．故选D.4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有()A．3条B．4条C．6条D．8条[答案]C[解析]画一个正方体，不难得出有6条．5．下列命题中，正确的结论有()①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]B[解析]②④是正确的．6.空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]A[解析]取AD的中点H，连FH、EH，在△EFH中∠EFH＝90°，HE＝2HF，从而∠FEH＝30°，故选A.7．正方体A1B1C1D1－ABCD中，BD与B1C所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]C[解析]∵A1D∥B1C，∴A1D与BD所成的锐角(或直角)即为所求角，连接A1B.∵△A1DB为正三角形，∴∠A1DB＝60°.8．空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点分别为P、Q、R，且AC＝4，BD＝25，PR＝3，则AC和BD所成的角为()A．90°B．60°C．45°D．30°[答案]A[解析]如图，P、Q、R分别为AB、BC、CD中点，∴PQ∥AC，QR∥BD，∴∠PQR为AC和BD所成角又PQ＝12AC＝2，QR＝12BD＝5，RP＝3∴PR2＝PQ2＋QR2，∴∠PQR＝90°即AC和BD所成的角为90°，故选A.二、填空题9．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是________，不平行的两条直线的位置关系是________，两条直线没有公共点，则它们的位置关系是________，垂直于同一直线的两条直线的位置关系为________．[答案]平行、相交、异面相交、异面平行、异面平行、相交、异面．10．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论：①∠ACB＝∠A′C′B′；②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；③∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°.一定成立的是________．[答案]③11．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a、M、N、P、Q分别为棱AB、BC、C1D1和CC1的中点，则①MN与PQ的位置关系为________，它们所成的角为________．②DB1与MN的位置关系为________，它们所成的角是________．[答案]①相交60°②异面90°[解析]①连接AC、D1C由于P、Q分别为C1D1、C1C的中点，所以PQ∥D1C，同理MN∥AC，则AC与D1C所成角即为MN与PQ所成角，∠D1CA＝60°.②连接AC、BD交于O，取BB1的中点H，连OH，则OH∥B1D，连AH，HC，则AH＝HC，∴OH⊥AC，又MN∥AC，OH∥B1D，∴MN⊥B1D.12．正方体ABCD－A1B1C1D1中①AC和DD1所成角是________度．②AC和D1C1所成的角是________度．③AC和B1D1所成的角是________度．④AC和A1B所成的角是________度．⑤O为B1D1中点，AC和BO所成角是________度．⑥A1B和B1D1所成角是________度．[答案]①90°，②45°，③90°，④60°，⑤90°，⑥60°.[解析]①DD1⊥面ABCD，∴DD1⊥AC；②D1C1∥DC，∠DCA＝45°，∴D1C1与AC成45°角；③B1D1∥BD，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC；④A1B∥D1C，△D1AC为等边三角形，∴成60°角；⑤在正方体中，∵O是B1D1中点，∴O为A1C1中点，又A1B＝BC1∴BO⊥A1C1，又AC∥A1C1，∴BO⊥AC，∴AC与BO成90°角；⑥B1D1∥BD，△A1BD为等边三角形，∴成60°角．三、解答题13．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由．[分析]由于BC∥B1C1，所以平行于BC的直线只需要平行于B1C1即可．[解析]如图所示，在面A1C1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求．理由：∵EF∥B1C1，BC∥B1C1，∴EF∥BC.14．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．[解析]由已知得BC⊥AC，又BC＝AC，∴∠ABC＝45°.又在△VBC中，D、E分别为VB、VC中点，∴DE∥BC，∴DE与AB所成的角为∠ABC＝45°.15．如右图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．[分析]根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引BE与DC的平行线，换句话说，平移BE(或CD)．设想平移CD，沿着DA的方向，使D移向E，则C移向AC的中点F，这样BE与CD所成的角即为∠BEF或其补角，解△EFB即可获解．[解析]取AC的中点F，连接BF、EF，在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，∴EF∥CD，∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝12AD＝12，∴BE＝52.在Rt△AEF中，AF＝12AC＝12，AE＝12，∴EF＝22.在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝12，∴BF＝52.在等腰△EBF中，cos∠FEB＝12EFBE＝2452＝1010，∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为1010.16．如下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别为棱AD、AB、B1C1、C1D1的中点．求证：∠EA1F＝∠E1CF1.[证明]如下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取A1B1的中点M，则BF＝A1M＝12AB.又∵BF∥A1M，∴四边形A1FBM为平行四边形．∴A1F∥BM.而F1、M分别为C1D1、A1B1的中点，则F1M綊C1B1，而C1B1綊BC，∴F1M∥BC，且F1M＝BC.∴四边形F1MBC为平行四边形，∴BM∥F1C.又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则A1N綊DE，∴四边形A1NDE为平行四边形．∴A1E∥DN.又E1N∥CD，且E1N＝CD，∴四边形E1NDC为平行四边形．∴DN∥CE1.∴A1E∥CE1.∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反．∴∠EA1F＝∠E1CF1.规律总结：证明角的相等问题，等角定理及其推论是较常用的方法．另外，通常证明三角形的相似或全等也可以完成角的相等的证明，如本例还可通过证明△EA1F与△E1CF1全等来证明角相等．