2014全国大学生数学建模大赛获奖作品

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛队号为（赛区已经给每个队设置）：08***×××所属学校（请填写完整的全名）：东北石油大学参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：×××日期：2014年08月25日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：0800312014高教社杯全国大学生数学建模竞赛嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要关键词：实际通行能力、通行量饱和度、误差修正、多项式拟合与插值、车流波动理论2一、问题重述嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，必须对着陆轨道和控制策略进行设计。要求着陆轨道近月点为15km，远月点100km的椭圆轨道。由于月球上没有大气，嫦娥三号无法依靠降落伞着陆，只能靠变推力发动机，才能完成中途修正、近月制动、动力下降、悬停段等软着陆任务。要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：（1）在落点确定的前提下，选择最佳的控制方案，并确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略使得整个过程中燃料消耗最少。（3）对于设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。二、问题分析问题一、嫦娥三号阶段一和阶段二的整个过程均可视为在同一平面内，且嫦娥三号落点的位置已经确定，其从近月点开始进入动力减速阶段，根据整个动力减速阶段所飞行的距离即可粗略确定近月点和远月点的位置。整个过程中，从近月点降落到地面的时间相较月球自转周期较短，可忽略；但是远月点运动到近月点过程经历时间较长，需要考虑月球自转的影响因素；近月点和远月点的速度大小可由开普勒行星运动定律、万有引力定律和角动量守恒定律共同确定，其速度方向均沿着切线方向问题二、问题三、三、模型假设三、模型假设1.嫦娥三号得到的月球平均半径、赤道平均半径和极区半径分别为1737013米、1737646米和1735843米，月球的形状扁率为1/963.7256。在动力下降的第一阶段，可以假设月球为一个球体。2嫦娥三号相对于月面的速度应接近于零，以免损伤着月设备。3着陆时着陆器体轴的方向与着陆点月面法向的夹角不宜过大，一般要求夹角为零，一方面是为了充分发挥着月减速发动机的效律，另一方面是为了使着陆器上的仪器天线等保持良好的姿态。4为了便于观测，一般要求着月点有阳光照射，而且要求着月点的阳光入射角满足一定条件。四、符号说明3L·························································································修正后的排队长度其他未标注符号在正文中均有提示五、模型建立与模型求解5.1问题一的分析与求解嫦娥三号在远月点减速后，经过半个周期运行到近月点，到达近月点后，通过主减速发动机使飞船减速并降落到距离月面3公里处，并且基本位于着陆点的上方，速度减为57m/s。然后进入快速调整阶段，此阶段位移变化量较小，在计算近月点位置时可忽略不计。图5.1.1（1）：嫦娥三号着陆示意图如图：由于月球自转方向与嫦娥三号着陆轨道夹角的不确切，在确定近月点位置时，首先计算月心极坐标系中夹角θ的大小，由此可得到远月点的位置。4图5.1.1（2）：近月点位置角度选择图在月心惯性坐标系中，采用变推力火箭发动机，使探月器着陆过程燃料最省。燃料消耗量可表示为推力与比冲之比值如下：thrusteeFmv式中：整个主减速阶段所消耗的燃料可以表示为thrusteFmv式中：根据牛顿第二定律：Fma可得semamv式中：加速度可表示为最小速度增量，计算步骤如下：01101;;.xyxzaaatabbtacct(a)5式中：xa，xa，xa为软着陆加速度；0a，1a，0b，1b，0c，1c为常系数；t为时间。软着陆轨道任一时刻的位置和速度分别为230001230001230001200120012001/2/6/2/6/2/6xyzxxyyzzxxvtatatyyvtbtbtzzvtztctvvatatvvbtbtvvctct(b)式中:000,,xyz，000,,xyzvvv分别为初始位置坐标和速度。式(b)中有方程6个和变量7个，控制其中的某个参数即可实现软着陆的轨道优化。若000,,xyz，000,,xyzvvv分别为着陆点要求的位置坐标和速度，1t为软着陆段总飞行时间，则加速度系数201011011624/xxaxxvtvtt31101016()12()/xxavvxxt201011011624/yybyyvtvtt31101016()12(y)/yybvvyt201011011624/zzczzvtvtt31101016()12(z)/zzcvvzt用多项式表示软着陆加速度的一种最简单可行状况是加速度线性变化，对于仅常数项或二次多项式等其他状况，或变量数少于方程数无解，或变量数远多于方程数(即有多个可控制参数)。控制参数多，利于实现燃料绝对最省。6因式(1)中加速度为推力加速度与引力加速度之和，由此可得火箭发动机需施加的加速度;;.pxxxpyyypzzzaagaagaag(c)式中：xg，yg，zg为当地引力加速度，随位置而变，且3Lxgxr，3Lygyr，3Lzgzr；pxa，pya，pza为推力加速度，是时间的函数，且222ppxpypzaaaa（d）此处：222rxyz；L为月球引力常数。若当时探月器质量为m，发动机比冲为ev，则需要的火箭发动机推力pFam（e）F的方向可由计算的推力加速度求得。其对应的质量秒流量peammv（f）由式(6)可得质量计算公式为100lndtpkeamtmv（g）式中：0m，km分别为探月器初始和最终的质量。若ev为常数,则可式(7)可改写为70evvkmme（h）式中：10dtpvat。式(8)为齐氏公式的另一种形式。由此可见:计算燃料消耗最少(或剩余质量最大)可转化成求解需要速度增量最小,即求v最小。由上述推导可知:当着陆点位置给定(即定点着陆)时,已知总飞行时间,即可求出需要速度增量,进而求得燃料消耗质量,此时需要速度增量(或燃耗质量)为1t的函数;当着陆点位置未定(即一般着陆)时,需要速度增量(或燃耗质量)为1t和着陆点位置的函数。由上可知:软着陆燃料消耗最少的优化中,对定点着陆,只需给定一容许飞行时间区间,通过一维搜索方法求解即可;对不定点着陆,需同时给定一容许飞行时间区间和着陆区域,通过一维嵌套或二维搜索求解。以下讨论不定点着陆时用一维嵌套黄金分割法计算最小需要速度增量(计算定点着陆时,可去除嵌套直接代入着陆坐标)。对如图1所示的月球软着陆,设坐标系基准平面位于初始运动平面内,ox轴由月心指向初始点,oy轴沿运动方向垂直于ox轴,oz轴与ox、oy轴构成右手坐标系。着陆制动时,着陆点在初始运动平面内时因无需改变运动平面而最省能量。因此,对不定点着陆优化,着陆点位置用一参数表示即可(着陆要求速度为0值),即:111cossin0LLxRyRz（j）式中:LR为月球半径,且LR=1738km;为初始点到着陆点的月心角(即软着陆段的行程角)。给定飞行时间区间02,tt和着陆区域02,，最小速度增量计算步骤如下：1)计算飞行时间22021.236()atttt2)计算着陆位置2200.618()a。代入式（a）~（d）、8（j），可算得与at，a对应的需要速度增量aav3)计算着陆位置0200.618()b。代入式（a）~（d）、（j），可算得与at，a对应的需要速度增量abv4)当aaabvv时，令amaavv，ama，2b；当aaabvv时，令amabvv，amb，0a；若ab且aaabvv则转步骤5)，否则转步骤2)，此处：为小数5)计算02021.236()btttt6)由a计算at，a与对应的需要速度增量bav7)由b计算bt，b与对应的需要速度增量bbv8)当babbvv时，令bmbavv，bma，2b；当babbvv时，令bmbbvv，bmb，0a；若ab且babbvv，则转步骤3)；否则返回步骤5)9)当ambmvv时，令mamvv，mam，2btt，当ambmvv时，令mbmvv，mbm，0att若abtt且ambmvv，则计算结束；否则返回步骤1)。在主减速阶段，飞船从15km高度逐渐降落到3km处，速度由1680m/s缓慢降到57m/s。带入到上述模型进行仿真，得到如下结果：9图3最小速度增量（缺：阶段一的详细数据表）不同着陆点时需要最小速度增量及其对应的如图3、4所示。由图可知:不定点着陆时需要的最小速度增量为1680.8m/s,,着陆点位置在14.077°。5.2.2速度大小的确定万有引力定律：GMmFR２＝根据万有引力提供向心力可得：GMvR＝开普勒行星第三定律是指绕以同一天体为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量。这里，a是行星公转轨道半长轴，T是行星公转周期，K是常数，其大小只与中心天体的质量有关。32aKT24GMK有上式可得：12vRvR２１＝具体数据见下表：近月点远月点速度1640.7m/s1680.1m/s方向沿切线方向沿切线方向角度14.077°165.923°10其方向如图所示：115.2.1主减速阶段的控制:主减速段是软着陆过程用时最长、推进剂消耗最多的任务段.该段的主要任务是消除较大的动力下降段初始水平速度(约1.7km/s),因此推进剂消耗优化是该段制导律的主要设计目标,另外还要兼顾自主性和工程可实现性要求.加速度线性变化有利于姿态控制的实现，再根据发动机比冲、制导时间等参数,通过函数逼近法对制导目标进行自适应修正,以满足进入接近段的初始约束条件.该方法不仅实现了推进剂消耗相对较少,还提高了系统对质量、推力和比冲等不确定性的适应性.根据上述方法，即第一问所述方法，可输出如下结果：图7着陆器速度的变化图7可以看出,着陆器终端时刻的速度为57m/s满足边界约束条件。其中,着陆器的法向速