2012考研高等数学易混淆概念分析(六)

2012考研高数易混淆概念分析之高等数学（六）很多同学在处理微分方程的时候，总是会碰到一些问题，有时候发现求解方程的时候答案不够严谨，或者会出现漏解的问题，其实同学们之所以会产生这些问题，主要是对微分方程通解的概念理解的还不是很深刻，总是把通解当成微分方程全部的解，事实上并不是这样的。万学海文考研数学辅导专家们建议这样的同学们首先明确一下什么是微分方程的通解，微分方程的通解是指微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，从中可以看出，微分方程的通解并不要求是微分方程的全部解。万学海文钻石卡辅导老师们从以下几个方面来理解微分方程的通解。首先，并不是全部的微分方程总是有通解的！考虑下面两个微分方程：4||10y，显然无解；4420yy，仅有一个解0y．而微分方程的通解是指含有任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同的解．由此可见，不是所有的微分方程都有通解．其次，微分方程的通解是否能包含它的所有解？答案是否定的．比如微分方程2210yy，cos()yxC是它的解，又因解中含有一个任意常数，与方程的阶数相同，满足通解的定义，所以它是通解．但1y显然也是微分方程2210yy的解，但它不包含在通解中，也就是说在通解中无论C取什么值，都不可能有1y．所以，微分方程的通解不一定能包含它的所有解．由于微分方程的通解并不代表微分方程的全部解，所以我们经常在求解中出现“丢解”和“增解”的现象，这也是我们的同学对微分方程的求解感到非常的不适应。下面万学海文考研数学辅导专家们就为2012年的考生来分析一下“丢解”和“增解”及我们究竟应该如何处理这种情况。首先我们来看两个例子，分别了解一下“丢解”和“增解”是什么情况：【例1】求解方程22(1)(1)0xydxyxdy．【解析】这是一个可分离变量的微分方程，将方程两边同除22(1)(1)xy分离变量，得01122yydyxxdx假定1,1xy，两边积分得通解为221ln1ln1lnxyC,10C（1）事实上1,1xy也是原方程的解，在分离变量两边同除22(1)(1)xy时“丢失”了．我们可以这样处理，将式（1）变形为221(1)(1)xyCC（2）当0C时，通解（2）包括了特解1,1xy，于是原方程的通解可“完整”地表示为Cyx)1)(1(22像上例中出现丢解的情形经常会发生在求解“可分离变量的微分方程”（()()dyfxgydx化为()()dyfxdxgy再积分得()dygy＝dxxf)(+C时，易丢掉()0gy的点作为原方程的特解）和“齐次方程”（dyydxx，令yux，得()dudxuux，其中满足()0uu的点也是方程的特解，最后也要加到全体解里面）的时候．下面再来看一个“增解”的情形：【例2】求方程0yyx满足(0)1y的特解.【解析】将方程分离变量后得ydyxdx，两边积分得22yxC，代入0,1xy得1C，故所求微分方程的特解为221xy．特解221xy中隐含两个不同的可导函数21yx与21yx，而方程0yyx满足(0)1y的解是21yx，那么在221xy中含有“增解”21yx，严格地讲“增解”理应舍去，但我们一般不作此要求，而仍将含有“增解”的等式221xy称为微分方程的解．对于解微分方程时出现的“丢解”和“增解”现象，如果求的是微分方程的通解，在求解过程中，可以不必计较“丢解”和“增解”现象，只需要在求解完以后将漏掉的解补上即可。而如果是求所给问题的初值问题（一般应是某个应用问题的数学模型），此时，需要注意这些漏掉的解是否适合初值问题，这样问题的答案将会更加准确。