2014届高三北师大版数学(理)一轮复习限时规范训练第二篇第8讲函数与方程

第8讲函数与方程A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f(x)＝sinx－x零点的个数是()．A．0B．1C．2D．3解析f′(x)＝cosx－1≤0，∴f(x)单调递减，又f(0)＝0，∴则f(x)＝sinx－x的零点是唯一的．答案B2．(2013·上饶模拟)设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间()．A．(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)解析∵f(x)＝ex＋x－4，∴f′(x)＝ex＋10，∴函数f(x)在R上单调递增．对于A项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－10，f(0)＝－30，f(－1)f(0)0，A不正确，同理可验证B、D不正确．对于C项，∵f(1)＝e＋1－4＝e－30，f(2)＝e2＋2－4＝e2－20，f(1)f(2)0，故选C.答案C3．(2013·延安期末)函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()．A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)D．(0,2)解析由条件可知f(1)f(2)0，即(2－2－a)(4－1－a)0，即a(a－3)0，解之得0a3.答案C4．(2011·山东)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图像在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()．A．6B．7C．8D．9解析当0≤x2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1.根据周期函数的性质，由f(x)的最小正周期为2，可知y＝f(x)在[0,6)上有6个零点，又f(6)＝f(3×2)＝f(0)＝0，∴f(x)在[0,6]上与x轴的交点个数为7.答案B二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知函数f(x)＝x2，x≤0，fx－1，x0，g(x)＝f(x)－x－a，若函数g(x)有两个零点，则实数a的取值范围为________．解析设n为自然数，则当nx≤n＋1时，f(x)＝(x－n－1)2，则当x0时，函数f(x)的图像是以1为周期重复出现．而函数y＝x＋a是一族平行直线，当它过点(0,1)(此时a＝1)时与函数f(x)的图像交于一点，向左移总是一个交点，向右移总是两个交点，故实数a的取值范围为a1.答案(－∞，1)6．函数f(x)＝x＋1，x≤0，log2x，x0，则函数y＝f[f(x)]＋1的所有零点所构成的集合为________．解析本题即求方程f[f(x)]＝－1的所有根的集合，先解方程f(t)＝－1，即t≤0，t＋1＝－1或t0，log2t＝－1，得t＝－2或t＝12.再解方程f(x)＝－2和f(x)＝12.即x≤0，x＋1＝－2或x0，log2x＝－2和x≤0，x＋1＝12或x0，log2x＝12.得x＝－3或x＝14和x＝－12或x＝2.答案－3，－12，14，2三、解答题(共25分)7．(12分)设函数f(x)＝1－1x(x0)．(1)作出函数f(x)的图像；(2)当0ab，且f(a)＝f(b)时，求1a＋1b的值；(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．解(1)如图所示．(2)∵f(x)＝1－1x＝1x－1，x∈0，1]，1－1x，x∈1，＋∞，故f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，由0ab且f(a)＝f(b)，得0a1b，且1a－1＝1－1b，∴1a＋1b＝2.(3)由函数f(x)的图像可知，当0m1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根．8．(13分)已知函数f(x)＝x3＋2x2－ax＋1.(1)若函数f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为4，求实数a的值；(2)若函数g(x)＝f′(x)在区间(－1,1)上存在零点，求实数a的取值范围．解由题意得g(x)＝f′(x)＝3x2＋4x－a.(1)f′(1)＝3＋4－a＝4，∴a＝3.(2)法一①当g(－1)＝－a－1＝0，a＝－1时，g(x)＝f′(x)的零点x＝－13∈(－1,1)；②当g(1)＝7－a＝0，a＝7时，f′(x)的零点x＝－73∉(－1,1)，不合题意；③当g(1)g(－1)0时，－1a7；④当Δ＝4×4＋3a≥0，－1－231，g10，g－10时，－43≤a－1.综上所述，a∈－43，7.法二g(x)＝f′(x)在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x2＋4x＝a在区间(－1,1)上有解，也等价于直线y＝a与曲线y＝3x2＋4x在(－1,1)有公共点．作图可得a∈－43，7.或者又等价于当x∈(－1,1)时，求值域．a＝3x2＋4x＝3x＋232－43∈－43，7.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·陕西)函数f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内()．A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点解析令f(x)＝0，得x＝cosx，在同一坐标系内画出两个函数y＝x与y＝cosx的图像如图所示，由图像知，两个函数只有一个交点，从而方程x＝cosx只有一个解．∴函数f(x)只有一个零点．答案B2．(2012·辽宁)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在－12，32上的零点个数为()．A．5B．6C．7D．8解析由题意知函数y＝f(x)是周期为2的偶函数且0≤x≤1时，f(x)＝x3，则当－1≤x≤0时，f(x)＝－x3，且g(x)＝|xcos(πx)|，所以当x＝0时，f(x)＝g(x)．当x≠0时，若0x≤12，则x3＝xcos(πx)，即x2＝|cosπx|.同理可以得到在区间－12，0，12，1，1，32上的关系式都是上式，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图像，如图所示，有5个根．所以总共有6个．答案B二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x2.若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，则实数k的取值范围为________．解析依题意得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数．g(x)＝f(x)－kx－k在区间[－1,3]内有4个零点，即函数y＝f(x)与y＝k(x＋1)的图像在区间[－1,3]内有4个不同的交点．在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图像(如图所示)，注意到直线y＝k(x＋1)恒过点(－1,0)，由题及图像可知，当k∈0，14时，相应的直线与函数y＝f(x)在区间[－1,3]内有4个不同的交点，故实数k的取值范围是0，14.答案0，144．(2013·汉中模拟)若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P、Q都在函数f(x)的图像上；②P、Q关于原点对称，则称点对(P、Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P、Q)与点对(Q，P)看作同一个“友好点对”)．已知函数f(x)＝2x2＋4x＋1，x0，2ex，x≥0，则f(x)的“友好点对”的个数是________．解析设P(x，y)，Q(－x，－y)(x0)为函数f(x)的“友好点对”，则y＝2ex，－y＝2(－x)2＋4(－x)＋1＝2x2－4x＋1，∴2ex＋2x2－4x＋1＝0，在同一坐标系中作函数y1＝2ex、y2＝－2x2＋4x－1的图像，y1、y2的图像有两个交点，所以f(x)有2个“友好点对”，故填2.答案2三、解答题(共25分)5．(12分)设函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c(a0，a，c∈R)．(1)设ac0.若f(x)c2－2c＋a对x∈[1，＋∞)恒成立，求c的取值范围；(2)函数f(x)在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？解(1)因为二次函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的图像的对称轴为x＝a＋c3a，由条件ac0，得2aa＋c，故a＋c3a2a3a＝231，即二次函数f(x)的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，且抛物线开口向上，故f(x)在[1，＋∞)内是增函数．若f(x)c2－2c＋a对x∈[1，＋∞)恒成立，则f(x)min＝f(1)c2－2c＋a，即a－cc2－2c＋a，得c2－c0，所以0c1.(2)①若f(0)·f(1)＝c·(a－c)0，则c0，或ac，二次函数f(x)在(0,1)内只有一个零点．②若f(0)＝c0，f(1)＝a－c0，则ac0.因为二次函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的图像的对称轴是x＝a＋c3a.而fa＋c3a＝－a2＋c2－ac3a0，所以函数f(x)在区间0，a＋c3a和a＋c3a，1内各有一个零点，故函数f(x)在区间(0,1)内有两个零点．6．(13分)已知二次函数f(x)＝x2－16x＋q＋3.(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q的取值范围；(2)是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t,10]时，f(x)的值域为区间D，且区间D的长度为12－t(视区间[a，b]的长度为b－a)．解(1)∵函数f(x)＝x2－16x＋q＋3的对称轴是x＝8，∴f(x)在区间[－1,1]上是减函数．∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有f1≤0，f－1≥0，即1－16＋q＋3≤0，1＋16＋q＋3≥0，∴－20≤q≤12.(2)∵0≤t10，f(x)在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x＝8.①当0≤t≤6时，在区间[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小，∴f(t)－f(8)＝12－t，即t2－15t＋52＝0，解得t＝15±172，∴t＝15－172；②当6t≤8时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(8)最小，∴f(10)－f(8)＝12－t，解得t＝8；③当8t10时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小，∴f(10)－f(t)＝12－t，即t2－17t＋72＝0，解得t＝8,9，∴t＝9.综上可知，存在常数t＝15－172，8,9满足条件.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.