2014届高三数学大一轮复习讲义专题五+圆锥曲线的综合问题

专题五圆锥曲线的综合问题数学浙（理）第九章解析几何基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程f(x，y)＝0.由Ax＋By＋C＝0fx，y＝0，消元“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．1.直线和圆锥曲线问题解法的一般规律基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理如消去y后得ax2＋bx＋c＝0.①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合．②若a≠0，设Δ＝b2－4ac.“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．1.直线和圆锥曲线问题解法的一般规律基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理a．Δ0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b．Δ0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c．Δ0时，直线和圆锥曲线没有公共点．＝“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．1.直线和圆锥曲线问题解法的一般规律基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝或|P1P2|＝.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)．1＋k2|x1－x2|1＋1k2|y1－y2|求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ0是否成立．2.“点差法”的常见题型基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理3．圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x2a2＋y2b2＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－b2x0a2y0；在双曲线x2a2－y2b2＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝b2x0a2y0；在抛物线y2＝2px(p0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝py0.求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ0是否成立．2.“点差法”的常见题型基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析1234B基础知识·自主学习基础自测84x－y－7＝0B基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一圆锥曲线中的范围、最值问题【例1】已知抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设AP→＝λAQ→.(1)若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；(2)若λ∈13，12，求|PQ|的最大值．解析思维启迪探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一圆锥曲线中的范围、最值问题(1)可利用向量共线证明直线MQ过F；(2)建立|PQ|和λ的关系，然后求最值．解析思维启迪探究提高【例1】已知抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设AP→＝λAQ→.(1)若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；(2)若λ∈13，12，求|PQ|的最大值．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一圆锥曲线中的范围、最值问题(1)证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1)．解析思维启迪探究提高∵AP→＝λAQ→，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2，∴y21＝λ2y22，y21＝4x1，y22＝4x2，x1＝λ2x2，∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1)，λx2(λ－1)＝λ－1，【例1】已知抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设AP→＝λAQ→.(1)若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；(2)若λ∈13，12，求|PQ|的最大值．∵λ≠1，∴x2＝1λ，x1＝λ，又F(1,0)，基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一圆锥曲线中的范围、最值问题∴MF→＝(1－x1，y1)＝(1－λ，λy2)解析思维启迪探究提高＝λ1λ－1，y2＝λFQ→，∴直线MQ经过抛物线C的焦点F.(2)解由(1)知x2＝1λ，x1＝λ，得x1x2＝1，y21·y22＝16x1x2＝16，【例1】已知抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设AP→＝λAQ→.(1)若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；(2)若λ∈13，12，求|PQ|的最大值．∵y1y20，∴y1y2＝4，则|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝x21＋x22＋y21＋y22－2(x1x2＋y1y2)基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一圆锥曲线中的范围、最值问题＝λ＋1λ2＋4λ＋1λ－12解析思维启迪探究提高＝λ＋1λ＋22－16，λ∈13，12，λ＋1λ∈52，103，当λ＋1λ＝103，即λ＝13时，|PQ|2有最大值1129，|PQ|的最大值为473.【例1】已知抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设AP→＝λAQ→.(1)若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；(2)若λ∈13，12，求|PQ|的最大值．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．解析思维启迪探究提高【例1】已知抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设AP→＝λAQ→.(1)若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；(2)若λ∈13，12，求|PQ|的最大值．基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练1(2012·四川)如图，动点M与两定点A(－1,0)、B(1,0)构成△MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程．(2)设直线y＝x＋m(m0)与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q，R，且|PQ||PR|.求|PR||PQ|的取值范围．题型分类·深度剖析解(1)设M的坐标为(x，y)，当x＝－1时，直线MA的斜率不存在；当x＝1时，直线MB的斜率不存在．于是x≠1且x≠－1.此时，MA的斜率为yx＋1，MB的斜率为yx－1.由题意，有yx＋1·yx－1＝4.化简可得，4x2－y2－4＝0.故动点M的轨迹C的方程为4x2－y2－4＝0(x≠1且x≠－1)．基础知识题型分类思想方法练出高分(2)由y＝x＋m，4x2－y2－4＝0题型分类·深度剖析消去y，可得3x2－2mx－m2－4＝0.(*)对于方程(*)，其判别式Δ＝(－2m)2－4×3(－m2－4)＝16m2＋480，而当1或－1为方程(*)的根时，m的值为－1或1.结合题设(m0)可知，m0且m≠1.设Q、R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，则xQ，xR为方程(*)的两根．因为|PQ||PR|，所以|xQ||xR|，xQ＝m－2m2＋33，xR＝m＋2m2＋33.所以|PR||PQ|＝xRxQ＝21＋3m2＋121＋3m2－1＝1＋221＋3m2－1.基础知识题型分类思想方法练出高分所以1|PR||PQ|＝xRxQ3，且|PR||PQ|＝xRxQ≠53.题型分类·深度剖析综上所述，|PR||PQ|的取值范围是1，53∪53，3.此时1＋3m21，且1＋3m2≠2，所以11＋221＋3m2－13，且1＋221＋3m2－1≠53，基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二圆锥曲线中的定点、定值问题思维启迪解析探究提高【例2】已知椭圆C经过点A1，32，两个焦点为(－1,0)、(1,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二可设直线AE的斜率来计算直线EF的斜率，通过推理计算消参．思维启迪解析探究提高圆锥曲线中的定点、定值问题【例2】已知椭圆C经过点A1，32，两个焦点为(－1,0)、(1,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二思维启迪解析探究提高(1)解由题意，c＝1，可设椭圆方程为x21＋b2＋y2b2＝1.因为A在椭圆上，所以11＋b2＋94b2＝1，解得b2＝3，b2＝－34(舍去)，所以椭圆方程为x24＋y23＝1.圆锥曲线中的定点、定值问题【例2】已知椭圆C经过点A1，32，两个焦点为(－1,0)、(1,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．(2)证明设直线AE的方程为y＝k(x－1)＋32，代入x24＋y23＝1.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二思维启迪解析探究提高得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋432－k2－12＝0.设E(xE，yE)，F(xF，yF)．因为点A1，32在椭圆上，所以xE＝432－k2－123＋4k2，圆锥曲线中的定点、定值问题【例2】已知椭圆C经过点A1，32，两个焦点为(－1,0)、(1,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．yE＝kxE＋32－k.又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以－k代替k，基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二思维启迪解析探究提高可得xF＝432＋k2－123＋4k2，yF＝－kxF＋32＋k，所以直线EF的斜率kEF＝yF－yExF－xE＝－kxE＋xF＋2kxF－xE＝12，即直线EF的斜率为定值，其值为12.圆锥曲线中的定点、定值问题【例2】已知椭圆C经过点A1，32，两个焦点为(－1,0)、(1,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．思维启迪解析探究提高圆锥曲线中的定点、定值问题【例2】已知椭圆C经过点A1，32，两个焦点为(－1,0)、(1,0)．(1)求椭圆C的方