2014届高考一轮复习8-3_专题带电粒子在磁场中运动的问题

带电粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解．(对应学生用书P172)1．带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能是带正电粒子，也可能是带负电粒子，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解．2．磁场方向不确定形成多解有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解．3．临界状态不唯一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下穿过有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能直接穿过去，也可能转过180°，从入射界面这边反向飞出，如图所示，于是形成了多解．4．运动具有周期性形成多解带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，往往运动具有周期性，因而形成多解．(15分)(2012·唐山摸底)一质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，从A点射入宽度为d、磁感应强度为B的匀强磁场中，MN、PQ为该磁场的边界线，磁感线垂直于纸面向里，如下图所示．带电粒子射入时的初速度与PQ成45°角，且粒子恰好没有从MN射出．(不计粒子所受重力)(1)求该带电粒子的初速度v0；(2)求该带电粒子从PQ边界射出的出射点到A点的距离x.[思路启迪]解答此题应注意以下几点：(1)注意入射方向的不确定引起多解性；(2)根据题意画出带电粒子的运动轨迹，建立半径和磁场宽度的几何关系；(3)建立洛伦兹力和圆周运动的关系．[解题样板](1)若初速度向右上方，设轨道半径为R1，如上图甲所示．则R1＝________，(2分)可得R1＝(2＋2)d(1分)又R1＝________，(2分)解得v0＝2＋2dqBm(1分)若初速度向左上方，设轨道半径为R2，如上图乙所示则R2＝________，(2分)可得R2＝(2－2)d，v0＝________.(1分)(2)若初速度向右上方，设射出点C到A点的距离为x1则x1＝2R1＝________(3分)若初速度向左上方，设射出点C到A点的距离为x2则x2＝2R2＝________.(3分)[答案](1)(R1－d)/cos45°mv0qB(d－R2)/cos45°2－2dqBm2(2＋1)d2(2－1)d.矩形匀强磁场区域的长为L，宽为L2，磁感应强度为B，质量为m，电荷量为e的电子沿着矩形磁场的上方边界射入磁场，欲使该电子由下方边界穿出磁场，求：(1)电子速率v的取值范围；(2)电子在磁场中运动时间t的变化范围．[解析](1)若电子从下边右端点c处穿出，如图甲所示：由几何关系可知：R2＝L2＋(R－L2)2可解得：R＝54L根据半径公式R＝mvqB，v＝5eBL4m若当电子从下边左端点d处穿出，如图乙所示：由几何关系可知：R＝L4根据半径公式R＝mvqB，v＝eBL4m因此，电子速率v的取值范围为：eBL4mv5eBL4m.(2)若电子从下边右端点c处穿出，其轨迹所对应的圆心角为θ，由几何关系可知：sinθ＝LR＝45，得：θ＝53°电子的运动时间：t＝θ360°T＝0.29πmeB若电子从下边左端点d处穿出，其轨迹为半圆，电子的运动时间：t＝12T＝πmeB因此，电子在磁场中运动时间t的变化范围：0．29πmeBtπmeB.[答案](1)eBL4mv5eBL4m(2)0.29πmeBtπmeB1.有界磁场分布区域的临界问题该类问题主要解决外界提供什么样以及多大的磁场，使运动电荷在有限的空间内完成规定偏转程度的要求，一般求解磁场分布区域的最小面积，它在实际中的应用就是磁约束．容易混淆点是：有界磁场的圆形区域与粒子运动径迹的圆弧．解决的方法就是加强有界磁场圆形区域与带电粒子运动径迹所在圆的圆心以及半径的对比．在涉及多个物理过程问题中，依据发生的实际物理场景，寻求不同过程中相衔接和联系的物理量，采用递推分析或者依据发生的阶段，采用顺承的方式针对不同阶段进行分析，依据不同的运动规律进行解决．2．求解运动电荷初始运动条件的边界临界问题该类问题多指运动电荷以不同的运动条件进入限定的有界磁场区域，在有限的空间内发生磁偏转，有可能是一个相对完整的匀速圆周运动，也有可能是圆周运动的一部分，对于后者往往要求在指定的区域射出，但由于初速度大小以及方向的差别，致使运动电荷在不同的位置射出，因此也就存在着不同情况的边界最值问题．因外界磁场空间范围大小的限定，使运动的初始条件有了相应的限制，表现为在指定的范围内运动．确定运动轨迹的圆心，求解对应轨迹圆的几何半径，通过圆心角进而表述临界最值，这应当是解决该类问题的关键．3．找临界点的方法以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径R和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常用结论如下：(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与磁场边界相切．(2)当速率v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．(3)当速率v变化时，圆周角大的，对应的运动时间也越长．(10分)(2012·六安期末)如右图所示，ABCD是边长为a的正方形．质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域．在正方形内适当区域中有匀强磁场．电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场.不计重力，求：(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；(2)此匀强磁场区域的最小面积．[思路启迪]根据带电粒子的电性和入射、出射方向，结合左手定则能否判定匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小？由C点入射的粒子的运动轨迹，能否确定出粒子运动的上边界？取边BC中点，画出轨迹，以D为原点、DC为x轴、DA为y轴建立坐标系，能否写出P点的坐标，你会有什么发现？[解题样板](1)设匀强磁场的磁感应强度的大小为B.令圆弧是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道．电子所受到的磁场的作用力f＝________.①(1分)应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外．(1分)圆弧的圆心在CB边或其延长线上．依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故________点即为圆心，圆半径为________，按照牛顿定律有f＝mv20a②(1分)联立得B＝mv0ea.③(1分)(2)由(1)中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C点垂直于BC入射的电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其他点垂直于BC入射的电子的运动轨迹只能在BAEC区域中．因而，圆弧是所求的最小磁场区域的一个边界．(2分)为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为θ(不妨设0≤θπ2)的情形．该电子的运动轨迹QP如右图所示．图中，圆弧的圆心为O，PQ垂直于BC边，由③式知，圆弧的半径仍为a，在以D为原点、DC为x轴、AD为y轴的坐标系中，P点的坐标(x，y)为x＝________④y＝－[a－(a－acosθ)]＝－acosθ⑤[答案](1)Bev0Ba(2)asinθDa直线圆周这意味着，在范围0≤θ≤π2内，P点形成以________为圆心、________为半径的四分之一圆周，它是电子做________运动和________运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界．(2分)因此，所求的最小匀强磁场区域是分别以B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周和所围成的，其面积为S＝2(14πa2－12a2)＝π－22a2.(2分)确定带电粒子在有界磁场中运动的最小面积时，可将粒子运动的边界点的运动轨迹用标准的尺规作图，然后借助数学方法找出边界的特点，最终由几何方法求出面积．(2012·福州模拟)如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值．静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m(不计重力)，从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ＝45°，孔Q到板的下端C的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求：(1)两板间电压的最大值Um.(2)CD板上可能被粒子打中的区域的长度x.(3)粒子在磁场中运动的最长时间tm.[解析](1)M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，所以圆心在C点，如图所示，CH＝QC＝L故半径R1＝L又因qv1B＝mv21R1qUm＝12mv21所以Um＝qB2L22m.(2)设粒子在磁场中运动的轨迹与CD板相切于K点，此轨迹的半径为R2，在△AKC中：sin45°＝R2L－R2解得R2＝(2－1)L即KC长等于R2＝(2－1)L所以CD板上可能被粒子打中的区域的长度x＝HK，即x＝R1－R2＝(2－2)L.(3)打在QE间的粒子在磁场中运动的时间最长，均为半周期所以tm＝T2＝πmBq.[答案](1)qB2L22m(2)(2－2)L(3)πmBq(对应学生用书P173)物理思想方法——处理带电粒子在磁场中运动的临界极值思维方法物理系统由于某些原因而要发生突变时所处的状态，叫做临界状态．突变过程是从量变到质变的过程，在临界状态的前后，系统服从不同的物理规律，按不同的规律变化．如光学中的“临界角”、超导现象中的“临界温度”、核反应中的“临界体积”、光电效应中的极限频率、静摩擦现象中的最大静摩擦力等，在中学物理中像这样的明确地指出的临界条件是容易理解和掌握的，但在高考试题中涉及的物理过程中常常是隐含着一个或几个临界状态，需要考生通过分析思考，运用所学的知识和已有的能力去分析临界条件，挖掘出临界值，这对大多数考生来说是比较困难的．而带电粒子在有界磁场中运动的临界问题是历年高考理科综合命题中的热点．本节将结合这一问题，探讨一下如何确定它们的临界条件？其中主要的有以下几种方法．1．对称思想带电粒子垂直射入磁场后，将做匀速圆周运动．分析粒子运动，会发现它们具有对称的特点，即：粒子的运动轨迹关于入射点P与出射点Q的中垂线对称，轨迹圆心O位于对称线上，入射速度、出射速度与PQ线间的夹角(也称为弦切角)相等，并有φ＝α＝2θ＝ω·t，如图所示．应用这一粒子运动中的“对称性”不仅可以轻松地画出粒子在磁场中的运动轨迹，对于某些临界问题的求解也非常便捷．如图所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一个不计重力的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中到x轴的最大距离为a，则该粒子的比荷和所带电荷的正负分别是()A.3v2aB，正电荷B.v2aB，正电荷C.3v2aB，负电荷D.v2aB，负电荷[答案]C[尝试解答]粒子穿过y轴正半轴，由左手定则可判断粒子带负电．根据带电粒子在有界磁场中运动的对称性作出粒子在磁场中运动轨迹如图所示，由图中几何关系可得：r＋rsin30°＝a，解得r＝23a.由r＝mvqB得：qm＝3v2aB.2．放缩法带电粒子以任意速度沿特定方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径随速度的变化而变化，如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v0越大，运动半径也越大．可以发现这样的粒子源产生的粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP′上．由此我们可得到一种确定临界条件的方法：在确定这类粒子运动的临界条件时，可以以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，使问题迎刃而解，这种方法称为“放缩法”．如图所示，宽度为d的匀强有界磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是磁场左右的两条边界线．现有一质量为m，电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直射入磁场中，θ＝45°.要使粒子不能从右边界NN′射出，求粒子入射速率的最大值为多少？[尝试解答]用放缩法作出带电粒子运动的轨迹如图所示，当其运动轨迹与NN′边界线相切于P点时，这就是具有最大入射速率vmax的粒子的轨迹