2014届高三北师大版数学(理)一轮复习限时规范训练选修4-4第2讲参数方程

第2讲参数方程(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．(2013·深圳模拟)直线x＝－2－2t，y＝3＋2t(t为参数)上与点A(－2,3)的距离等于2的点的坐标是________．解析由题意知(－2t)2＋(2t)2＝(2)2，所以t2＝12，t＝±22，代入x＝－2－2t，y＝3＋2t(t为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．答案(－3,4)或(－1,2)2．(2013·东莞模拟)若直线l：y＝kx与曲线C：x＝2＋cosθ，y＝sinθ(参数θ∈R)有唯一的公共点，则实数k＝________.解析曲线C化为普通方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r＝1.由已知l与圆相切，则r＝|2k|1＋k2＝1⇒k＝±33.答案±333．直线3x＋4y－7＝0截曲线x＝cosα，y＝1＋sinα(α为参数)的弦长为________．解析曲线可化为x2＋(y－1)2＝1，圆心到直线的距离d＝|0＋4－7|9＋16＝35，则弦长l＝2r2－d2＝85.答案854．已知直线l1：x＝1－2t，y＝2＋kt(t为参数)，l2：x＝s，y＝1－2s(s为参数)，若l1∥l2，则k＝________；若l1⊥l2，则k＝________.解析将l1、l2的方程化为直角坐标方程得l1：kx＋2y－4－k＝0，l2：2x＋y－1＝0，由l1∥l2，得k2＝21≠4＋k1⇒k＝4，由l1⊥l2，得2k＋2＝0⇒k＝－1.答案4－15．(2013·湛江调研)参数方程x＝3＋3cosθ，y＝－3＋3sinθ(θ为参数)表示的图形上的点到直线y＝x的最短距离为________．解析参数方程x＝3＋3cosθ，y＝－3＋3sinθ化为普通方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝9，圆心坐标为(3，－3)，半径r＝3，则圆心到直线y＝x的距离d＝|3－－3|2＝32，则圆上点到直线y＝x的最短距离为d－r＝32－3＝3(2－1)．答案3(2－1)6．(2011·陕西)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：x＝3＋cosθ，y＝sinθ(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．解析消掉参数θ，得到关于x、y的一般方程C1：(x－3)2＋y2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C2：x2＋y2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB|的最小值为3－1－1＝1.答案17．已知在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与曲线C：x＝2cosθ，y＝sinθ(θ是参数)有两个不同的交点P和Q，则k的取值范围为________．解析曲线C的参数方程：x＝2cosθ，y＝sinθ(θ是参数)化为普通方程：x22＋y2＝1，故曲线C是一个椭圆．由题意，利用点斜式可得直线l的方程为y＝kx＋2，将其代入椭圆的方程得x22＋(kx＋2)2＝1，整理得12＋k2x2＋22kx＋1＝0，因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，所以Δ＝8k2－4×12＋k2＝4k2－2＞0，解得k＜－22或k＞22.即k的取值范围为－∞，－22∪22，＋∞.答案－∞，－22∪22，＋∞8．如果曲线C：x＝a＋2cosθ，y＝a＋2sinθ(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是________．解析将曲线的参数方程转化为普通方程，即(x－a)2＋(y－a)2＝4，由题意可知，以原点为圆心，以2为半径的圆与圆C总相交，根据两圆相交的充要条件，得0＜2a2＜4，∴0＜a2＜8，解得0＜a＜22或－22＜a＜0.答案(－22，0)∪(0,22)二、解答题(共20分)9．(10分)(2012·新课标全国)已知曲线C1的参数方程是x＝2cosφ，y＝3sinφ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为2，π3.(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．解(1)由已知可得A2cosπ3，2sinπ3，B2cosπ3＋π2，2sinπ3＋π2，C2cosπ3＋π，2sinπ3＋π，D2cosπ3＋3π2，2sinπ3＋3π2，即A(1，3)，B(－3，1)，C(－1，－3)，D(3，－1)．(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．10．(10分)(2012·福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，233，π2，圆C的参数方程为x＝2＋2cosθ，y＝－3＋2sinθ(θ为参数)．(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；(2)判断直线l与圆C的位置关系．解(1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，0，233.又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为1，33，故直线OP的直角坐标方程为y＝33x.(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，0，233，所以直线l的平面直角坐标方程为3x＋3y－23＝0.又圆C的圆心坐标为(2，－3)，半径r＝2，圆心到直线l的距离d＝|23－33－23|3＋9＝32＜r.故直线l与圆C相交．