2014年-电磁场与电磁波答案

第1页共7页西安电子科技大学考试时间120分钟试题题号一二三四五六七总分分数1.考试形式：闭卷；2.本试卷共7大题，满分100分.3全部答案写在试题纸上。班级学号姓名任课教师一、（15分）已知a是常矢，矢径ˆˆˆ()()()xyzRxxayyazza，222()()()Rxxyyzz，求(1)R，(2)R，(3)R，(4)()aR，(5)()aR，(6)()RaR，(7)若ˆˆˆxyzAaxyayzaxz，矢量A是否满足库伦规范。[解](1)222ˆˆˆ()()()()()()xyzxxayyazzaRRRxxyyzz（2分）(2)3R（2分）(3)0R（2分）(4)()RaRRaaR（2分）(5)()RaRRaaR（2分）(6)()()()()()0RRaRRaRaRRRaRaRR（2分）(7)ˆˆˆˆˆˆ()()0Axyzxxyyyzzxzyzxxyz，矢量A不满足库伦规。（3分）第2页共7页二、（25分）1.写出麦克斯韦方程组微分形式的复数表达式及边界条件的矢量形式，并指出麦克斯韦方程组中独立的方程。[解]麦克斯韦方程组微分形式的复数表达式0HJjDEjBBD（2分）边界条件的矢量形式21212121ˆ0ˆˆˆ0ssnEEnHHJnDDnBB（2分）独立方程有三个：HJjDEjBD（1分）或者独立方程有三个：HJjDEjBJj（1分）2.在真空中有一个静止的点电荷q放置于直角坐标系的坐标原点处，写出空间任一点(,,)xyz处的电场强度、电位与等位面方程。[解]第3页共7页322220ˆˆˆ(,,)()4()qExyzxxyyzzxyz（2分）22204qxyz（2分）222(0)xyzcc为等位面方程（1分）3.若一均匀平面电磁波在良导体银中传播，若电磁波的波长为7.3514×10-6m，银的电导率76.1510Sm，求银的集肤深度与表面电阻。[解]6111.17102m（3分）76110.01396.15101.1710sR（2分）4.对于非磁性介质，写出斜入射时均匀平面波产生全反射的条件。[解]12（2分）21arcsin2i（3分）5.计算自由空间中电流强度为10mA，长度为0.1dl的电基本振子的辐射电阻与辐射功率。[解]22280()0.87.896rdlR（2分）222410.5(10)7.8963.948102rrPIRW（2分）第4页共7页三、（8分）推导无源区域，均匀、线性、各向同性、无耗媒质中时变电磁场的波动方程。[解]对于无源区域，均匀、线性、各向同性、无耗媒质中的时变Maxwell方程组为EHt(1)HEt(2)0H(3)0E(4)（2分）对(1)两边去旋度，可得2()()EHHHEtt(5)（2分）将(3)和(2)代入(5)中，可得2220HHt(6)（1分）类似地，将(2)两边去旋度，可得2()()HEEEHtt(7)（2分）将(4)和(1)代入(7)中，可得2220EEt(8)（1分）四、（10分）同心球电容器的内导体半径为a，外导体内半径为b，其间填充两种均匀线性各向同性的电介质，上半部分的介电常数为1，下半部分的介电常数为2，如图1所示。设内外导体带电分别为q和-q，求上半部分与下半部分的电场强度E和电位移矢量D，以及该电容器的电容C。第5页共7页12ab图1（第四题用图）[解]为了满足介质分界面上电场强度切向分量连续的条件，上下两部分的电场强度满足12ˆ()rEEEra（2分）则对应的电位移矢量分别为1111ˆ()rDEEra2222ˆ()rDEEra在半径为r的球面上应用高斯定理，有221222rErEq（2分）于是2122()qEr（1分）上下部分的电场强度与电位移矢量分别为12212ˆ2()rqEEar11212ˆ2()rqDar22212ˆ2()rqDar（2分）内外导体间的电位差为12112()baqUEdrab（2分）最终两导体间的电容为122()abqCUba（1分）五、（12分）如图2所示，一个半径为a的金属半球壳，其底部连接一个接地第6页共7页的金属导体版。若内部填充空气，并在距离球心d处放置一个电量为Q的点电荷，采用镜像法求半球壳内部的电位，并说明镜像法的理论基础。Qd0azx图2（第五题用图）[解]首先考虑一个半径为a的接地导体球壳，其内部在距球心距离为d处放置一个点电荷Q的等效问题，如下图所示。a0Qa0QddQb1r2rP相应的等效问题为去掉导体球壳，在距球心距离为b处放置一个镜像点电荷Q'，镜像电荷与原电荷共同作用在球壳位置处产生的电位为零，即010211044QQrr(1)（2分）其中r1和r2为球面上一点到Q和Q'的距离。若选择球面上的P点分别为离原电荷最远和最近处，则有0011044QQadab(2)（1分）第7页共7页0011044QQadba(3)（1分）求解(2)和(3)，可得aQQd(4)（1分）2abd(5)（1分）由此，图2中的等效问题如下图所示。Qd0aQd0azxzx2adaQdQdaQd2ad为了同时满足球壳和导体平面的电位为零，则在(0,0,a2/d)的位置处放置镜像电荷-aQ/d（1分），在(0,0,-d)的位置处放置镜像电荷-Q（1分），以及在(0,0,-a2/d)的位置处放置镜像电荷aQ/d（1分）。这三个镜像电荷与原电荷一起在半球壳内部产生的电位为0102030411114444QaQQaQrdrrdr（3分）其中第8页共7页2221()rxyzd(22220,zaxyza)22222()arxyzd2223()rxyzd22224()arxyzd六、（12分），如图3所示，一个右旋圆极化的均匀平面电磁波由空气（z0）入射到一个无限大理想介质交界面（z=0），入射波电场强度的复数表达式为2(3)ˆˆˆ(3)ixyzjxzEabaae（V/m）已知理想介质区域（z0）的相对磁导率1r，若在空气（z0）中反射波是一个线极化波，求(1)工作频率f，入射角i，以及参数b；(2)理想介质的相对介电常数r；(3)透射波的传播矢量tk。zx0媒质1媒质2入射波iit反射波透射波图3（第六题用图）第9页共7页[解]（1）入射波的传播矢量为ˆˆ2(3)ixzkaa（1分）则传播常数为4ikradm（1分）考虑到在空气中传播，则频率为86102ikcfHz（1分）进一步，传播方向单位矢量为31ˆˆˆ22ixzkaa则与z轴夹角的方向余弦为1ˆˆcos2iizka从而入射角为o60i（1分）由于ˆˆˆ(3)0xziaak，以及ˆˆ0yak，则可将入射波电场矢量分解为两个分量2(3)2(3)ˆˆˆ3jxzjxzixzyEaaebae（1分）由于它是圆极化波，则312b（1分）又因为是右旋圆极化波，并考虑到ˆˆˆˆˆ(3)3xzyxzaabababa与ˆk平行，则2bj（1分）（2）由于反射波是一个线极化波，则入射角应为布儒斯特角tanir（1分）第10页共7页则可得3r（1分）（3）由Snell折射定律可知00001sinsin2tir（1分）则折射角为o30t透射波的传播常数为=43tirkkradm（1分）则透射波的传播矢量13ˆˆˆˆˆˆ(sincos)43()23622ttxtztxzxzkkaaaaaa（1分）七、（18分）如图4所示，区域I(z0)为自由空间，区域II(z0)为理想介质，其相对介电常数5r与相对磁导率20r。区域I中入射波电场强度的瞬时值为88ˆˆ(,)60cos(210)60sin(210)ixyErtatkzatkz求(1)传播常数k以及区域I中的波长；(2)反射电磁波电场强度rE和透射电磁波电场强度tE的复数值表达式；(3)反射电磁波磁场强度rH和透射电磁波磁场强度tH的瞬时值表达式(,)rHzt和(,)tHzt；(4)判断入射电磁波、反射电磁波和透射电磁波是何种极化波；(5)计算反射平均功率密度,avrS和透射平均功率密度,avrS。第11页共7页xz22,入射波11,区域Io区域II图4（第七题用图）[解]（1）入射波的频率810fHz，考虑到在空气中传播，则传播常数8821023103kradsc（1分）在I区域中的波长为23mk（1分）（2）将入射电场表示成复数形式可得2233ˆˆ()6060zzjjixyEraeja（1分）由于分界面是在z=0平面，则入射波是垂直入射到分界面上，相应的反射系数与透射系数为100010002123（1分）01100042423T（1分）透射波的常数为203trrkkrads第12页共7页则反射电场与透射电场的复数形式为22223333ˆˆˆˆ()(6060)2020zzzzjjjjrxyxyEraejaaeja（1分）202020203333ˆˆˆˆ()(6060)8080zzzzjjjjtxyxyErTaejaaeja（1分）（3）入射波、反射波、透射波磁场强度的复数表达式为222233330111ˆˆˆˆ()(6060)22zjzzzjjjiyxxyHraejajaae（1分）222233330111ˆˆˆˆ()(2020)66zjzzzjjjryxxyHraejajaae（1分）2020202033331111ˆˆˆˆ()(8080)33zjzzzjjjtyxxyHraejajaae（1分）对应的瞬时值为881212ˆˆ(,)sin(210)cos(210)2323ixyzzHrtatat（1分）881212ˆˆ(,)sin(210)cos(210)6363rxyzzHrtatat（1分）88120120ˆˆ(,)sin(210)cos(210)3333txyzzHrtatat（1分）（4）入射电磁波是右旋圆极化波（1分）反射电磁波是左旋圆极化波（1分）透射电磁波是右旋圆极化波（1分）（5）*2,0180010ˆˆˆRe()222403rravrrEHSzEzz（1分）*2,111280080ˆˆˆRe()224803ttavttEHSzEzz（1分）