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第二单元函数第十三节导数的应用(Ⅰ)1.如果函数y＝f(x)的图象如下图，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是()2.函数y＝6x2－x＋5()A.在x＝112处取得极大值11924B.在x＝112处取得极小值11924C.不存在极值D.以上都不对3.函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋48(a－2)x＋b的图象关于原点中心对称，则f(x)在()A.(－4,4)上单调递增B.(－4,4)上单调递减C.(－4,0)上单调递增，(0,4)上单调递减D.(－4,0)上单调递减，(0,4)上单调递增4.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A.－1＜a＜2B.－3＜a＜6C.a＜－1或a＞2D.a＜－3或a＞65.(2011·济南模拟)设f(x)，g(x)是R上的可导函数，f′(x)，g′(x)分别为f(x)，g(x)的导函数，且f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)＜0，则当a＜x＜b时，有()A.f(x)g(b)＞f(b)g(x)B.f(x)g(a)＞f(a)g(x)C.f(x)g(x)＞f(b)g(b)D.f(x)g(x)＞f(a)g(a)6.若函数h(x)＝2x－kx＋k3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是()A.[－2，＋∞)B.[2，＋∞)C.(－∞，－2]D.(－∞，2]7.函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调递减区间是______．8.若函数f(x)＝x2＋ax＋1在x＝1处取得极值，则a＝________.9.设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则a的取值范围是________．10.已知函数f(x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是________.11.设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1，求f(x)的单调区间和极值．12.(2011·浙江台州模拟)已知f(x)＝x2－2lnx，g(x)＝x2－x＋a.(1)求函数f(x)的极值；(2)设h(x)＝f(x)－g(x)，若函数h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．13.(2011·杭州学军中学月考)对于函数f(x)＝－14x4＋23x3＋ax2－2x－2，其中a为实常数，已知函数y＝f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线与y轴垂直．(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程f(3x)＝m有三个不等实根，求实数m的取值范围．答案设1x＝t，∵x∈(0，＋∞)，则t∈(0，＋∞)，问题转化为m≥－12t2＋t在(0，＋∞)上恒成立，又∵－12t2＋t＝－12(t－1)2＋12，则t＝1时，－12t2＋t有最大值12，∴m≥12.11.f′(x)＝6x2－6(a－1)x＝6x[x－(a－1)]．令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝a－1，由a≥1得x2≥x1.(1)当a＝1时，f′(x)＝6x2≥0恒成立，f(x)在R上是单调递增函数，不存在极值．(2)当a＞1时，x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，a－1)a－1(a－1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值故f(x)在(－∞，0)和(a－1，＋∞)上是单调递增的，在(0，a－1)上单调递减，且当x＝0时，f(x)取得极大值f(0)＝1，当x＝a－1时，f(x)取得极小值f(a－1)＝1－(a－1)3.12.(1)f′(x)＝2x－2x，令f′(x)＝0，又x＞0，解得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，∴f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝1，无极大值．(2)∵h(x)＝f(x)－g(x)＝－2lnx＋x－a，∴h′(x)＝－2x＋1，令h′(x)＝0得x＝2.当x∈[1,2)时，h′(x)＜0；当x∈(2,3]时，h′(x)＞0.∵h(x)在[1,2)上递减，在(2,3]上递增．∴1?Ý0203?Ý0hhh∴1222323aalnaln∴2－2ln2＜a≤3－2ln3.∴a的取值范围为(2－2ln2,3－2ln3]．13.(1)f′(x)＝－x3＋2x2＋2ax－2.据题意，当x＝－1时f(x)取极值，所以f′(－1)＝0，即－(－1)3＋2×(－1)2＋2a×(－1)－2＝1－2a＝0，解得a＝12.(2)因为a＝12，所以f(x)＝－14x4＋23x3＋12x2－2x－2.所以f′(x)＝－x3＋2x2＋x－2＝－(x－1)·(x＋1)(x－2)．由f′(x)＞0，得(x－1)(x＋1)(x－2)＜0，即x＜－1或1＜x＜2.所以f(x)在区间(－∞，－1)，(1,2)上单调递增，在区间(－1,1)，(2，＋∞)上单调递减．所以f(x)的极大值为f(－1)＝－512，f(2)＝－83，极小值为f(1)＝－3712.由此可得函数y＝f(x)的大致图象如下：令3x＝t(t＞0)，若关于x的方程f(3x)＝m有三个不等实根，则关于t的方程f(t)＝m在(0，＋∞)上有三个不等实根，即函数y＝f(t)的图象与直线y＝m在(0，＋∞)上有三个不同的交点．又f(0)＝－2＞－83，由图象可知，－3712＜m＜－83，故m的取值范围是378123.