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用心爱心专心-1-第3章3.3.1(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数()A.π2，3π2B．(π，2π)C.3π2，5π2D．(2π，3π)解析：y′＝(xcosx－sinx)′＝cosx＋x(cosx)′－cosx＝－xsinx．若y＝f(x)在某个区间是增函数，只需在此区间内y′＞0即可，如图所示的是正弦函数在(0,3π)内的图象，可知在(π，2π)内sinx＜0，此时y′＞0.故选B.答案：B2．已知函数f(x)＝x＋lnx，则有()A．f(2)＜f(e)＜f(3)B．f(e)＜f(2)＜f(3)C．f(3)＜f(e)＜f(2)D．f(e)＜f(3)＜f(2)解析：在(0，＋∞)上，f′(x)＝12x＋1x＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)＜f(e)＜f(3)．故选A.答案：A3．函数y＝ax3－x在R上是减函数，则()A．a≥13B．a＝1C．a＝2D．a≤0解析：因为y′＝3ax2－1，函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，所以y′＝3ax2－1≤0恒成立，即3ax2≤1恒成立．当x＝0时，3ax2≤1恒成立，此时a∈R；当x≠0时，若a≤13x2恒成立，则a≤0.综上可得a≤0.用心爱心专心-2-答案：D4．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()解析：由f(x)的图象知f(x)在(－∞，0)上单调递减∴f′(x)＜0排除A，C.当x＞0时f(x)先增又减后又增∴f′(x)的图象应先在x轴上方又下方后又上方，故D正确．答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数f(x)＝2x3＋3x2－12x的单调递增区间是________．解析：函数的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)．令f′(x)0，得x－2或x1，所以函数f(x)＝2x3＋3x2－12x的单调递增区间为(－∞，－2)，(1，＋∞)．答案：(－∞，－2)，(1，＋∞)6．函数y＝sinx－2x在R上的单调性是________．解析：因为y′＝cosx－2，当x∈R时，cosx≤1，则cosx－20恒成立，即y′0，所以函数y＝sinx－2x在R上是单调递减的．答案：单调递减三、解答题(每小题10分，共20分)7．当x∈(0，π)时，证明函数f(x)＝sinxx单调递减．证明：∵f(x)＝sinxx，∴f′(x)＝xcosx－sinxx2，令g(x)＝xcosx－sinx，则g′(x)＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx，用心爱心专心-3-∵x∈(0，π)时，g′(x)＜0，∴g(x)为减函数，∵g(0)＝0，∴g(x)＜g(0)＝0，∴当x∈(0，π)时，f′(x)＜0，∴f(x)＝sinxx在区间(0，π)上是减函数．8．若函数f(x)＝lnx－12ax2－2x存在单调递减区间，求实数a的取值范围．解析：f′(x)＝1x－ax－2＝－ax2＋2x－1x.因为函数f(x)存在单调递减区间，所以f′(x)≤0有解．又因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，则ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上有解．(1)当a0时，y＝ax2＋2x－1为开口向上的抛物线，ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上恒有解；(2)当a0时，y＝ax2＋2x－1为开口向下的抛物线，而ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上恒有解，则Δ＝4＋4a0，x＝－1a0，解得－1a0；(3)当a＝0时，显然符合题意．综上所述，a的取值范围为(－1，＋∞)．尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)．若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增函数，求t的取值范围．解析：由题意得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，则f′(x)＝－3x2＋2x＋t若f(x)在(－1,1)上是增函数，则在(－1,1)上f′(x)≥0恒成立，即t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立．考虑函数g(x)＝3x2－2x，由于g(x)的图象是对称轴为x＝13，开口向上的抛物线，故要使t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立⇒t≥g(－1)，即t≥5.用心爱心专心-4-而当t≥5时，f′(x)在(－1,1)上满足f′(x)0，即f(x)在(－1,1)上是增函数．故t的取值范围是t≥5.