清华大学概率论与数理统计课件-强大数定理

第5.4节强大数定律一、以概率1收敛二、博雷尔强大数定律三、科尔莫戈罗夫强大数定律四、独立同分布场合的强大数定律一、以概率1收敛()()(lim()())1nnnP如果对随机变量、有义（以概率1收敛）定5.2.5{()}1(),{()}()nn则称以概率收敛于亦被称为几乎处处收敛于，简记为首先回顾一下5.2节关于以概率1收敛的概念..()()asn为了探讨以概率1收敛的内在含义，需要以下定义：定义12,,,nAAA设,为一列事件，记1limnnnknkAAlim{}nnnAA称为事件序列的上限事件.记1limnnnknkAAlim{}nnnAA称为事件序列的下限事件.上限事件与下限事件的含义与关系lim.limnnnnnnAAAA上限事件表示事件发生无穷多次下限事件表示事件至多只有有限个不发生.同时因为11lim,(),limnnnnnknknNnnnnnkknkAANAAnNkAAAlimlimnnnnAA因而极限事件limlimnnnnAA当＝时，记limlimlimnnnnnnAAA＝lim{}nnnAA称为随机事件序列的极限事件.又因为11limlimnnnnnnknkknkAAAA同理limlimnnnnAA引理5.4.1(博雷尔－康特立引理)1{}(),nnnAPA(1)若随机事件序列满足则(lim)0,(lim)1nnnnPAPA1{},()nnnAPA(2)若随机事件序列相互独立则＝成立的充要条件为(lim)1,(lim)0nnnnPAPA或者定理5.4.1..()()()()asPnn反例(p298例一)..()()()()asNOPnn二、博雷尔强大数定律定理5.4.2(博雷尔)nAn设是事件在次独立试验Apn中的出现次数，在每次试验中事件出现的概率为，那么当时，1lim1nnnPpPpnn或者三、科尔莫戈罗夫强大数定律1、定义(强大数定律){}i设为独立变量序列，若11{lim(())0}1niiniPEn{}i则称独立变量序列满足强大数定律2、葛依克－瑞尼不等式2{},iiiD若是独立随机变量序列，(1,2,),{},()0niCmnnm而是一列正的非增常数序列，则对任意的正整数，以及，均有12222211{max(())}1()jjiimjnimnmjjjjjmPCECC3、科尔莫戈罗夫不等式2{},iiiD若是独立随机变量序列，(1,2,),0in则对任意的，均有22111{max(())}jniijmjnijPE科尔莫戈罗夫不等式是概率论中最重要的不等式之一，当n=1时，科尔莫戈罗夫不等式就退化为车贝晓夫不等式，而咯依克－瑞尼不等式又是科尔莫戈罗夫不等式的推广.4、科尔莫戈罗夫强大数定律定理5.4.3(科尔莫戈罗夫强大数定律)21{}(1,2,3,),,iiniDn设是独立随机变量序列，且则11{lim(())0}1niiniPEn四、独立同分布场合的强大数定律定理5.4.4(科尔莫戈罗夫){}(1,2,3,),ii设是独立同分布随机变量序列，则..121()asnan成立的充要条件为：()iEa存在且等于